§ I.2. Интегральная формула Коши

Рассмотрим функцию регулярную всюду в области, ограниченной контуром С, включая и сам контур. Выделим точку а внутри контура Тогда новая функция

будет регулярной всюду в заданной области, кроме точки Рассматриваемая функция может быть регулярной и в точке если содержит множитель а, однако, этот случай не представляет интереса. Выделим точку а кружком малого радиуса с центром в точке а. Полученный таким образом внутренний контур обозначим через В кольце, ограниченном контурами функция будет регулярной и, следовательно, в соответствии с равенством можно написать 1):

Рис. 1.4. Пояснение к выводу ф-лы

Таким образом, вычисление интеграла от регулярной функции по заданному контуру С может быть сведено к вычислению интеграла от той же функции на окружности сколь угодно малого радиуса Это значительно упрощает задачу, так как при беспредельном уменьшении функция на контуре может быть приравнена

функдии Кроме того, так как для окружности справедливы очевидные выражения:

где меняется в промежутке от до то, подставляя их в правый интеграл равенства можем написать:

Отсюда, в частности, вытекает следующее важное равенство:

Итак, вместо равенства приходим к выражению:

Это важное соотношение, называемое формулой Коши, выражает значение регулярной функции в любой точке а внутри области через её значение на контуре области.

Заметим, что а входит в интеграл (1.13) в качестве параметра, следовательно, выражение (1.13) можно дифференцировать по а под знаком интеграла сколько угодно раз. Последовательным дифференцированием по а находим:

Этот результат показывает, что регулярная функция имеет производные всех порядков, причём эти производные выражаются через контурные значения функции по ф-ле (1.13).

Так как а может быть любой точкой на комплексной плоскости, выражения (1.13) — (1.16) удобно несколько видоизменить, записав их в форме:

Здесь переменная интегрирования, а любая точка внутри области, где регулярна.