ГЛАВА 5. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ СИГНАЛЫ

§ 5.1. Основные характеристики нерегулярного сигнала

Реальные сигналы, с которыми приходится иметь дела в радиотехнике, представляют собой более или менее хаотические функции времени. Такой функцией является, напримерг электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста и т. д. Рассмотренные в предыдущей главе строго периодические последовательности импульсов являются лишь абстракцией, полезной при изучении некоторых важных для практики свойств сигналов реальных, непериодических. Упомянутые выше хаотические сигналы, образующие так называемый случайный или стохастический процесс, в дальнейшем будем называть нерегулярными. Если длительность действия подобных сигналов достаточно велика, чтобы в пределах рассматриваемого отрезка времени успевали проявиться все существенные для практики свойства (например, среднеквадратичное значение сигнала), то при анализе подобные сигналы можно рассматривать как длящиеся бесконечно долго.

Естественно применить вероятностный (статистический) подход к анализу нерегулярных сигналов.

Для облегчения анализа целесообразно исходить из допущения, что статистические свойства сигнала не зависят от времени, т. е. что нерегулярный сигнал представляет собой стационарный вероятностный (случайный) процесс.

В качестве основных характеристик нерегулярного сигнала следует принять: а) спектральное распределение мощности сигнала и б) вероятностные распределения для параметров сигнала, имеющих случайный характер.

Говоря о спектральной характеристике, следует иметь в виду, что ни ряд Фурье, ни интегральные преобразования

Фурье или Лапласа к нерегулярным функциям, заданным при неприменимы. Невозможно найти спектральную плотность или изображение для функции, соответствующей, например, неопределённо долго передаваемой речи. Само понятие спектральной плотности в смысле определений, данных в § 1.1, по отношению к нерегулярным сигналам теряет своё содержание.

Можно, однако, ввестй понятие спектральной плотности среднего (по времени) квадрата нерегулярной функции Если под нерегулярной функцией подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении, равном 1 ом. Спектральную плотность среднего квадрата можно рассматривать как усреднённую по времени мощность, содержащуюся в полосе частот 1 гц. Введённую таким образом спектральную плотность в дальнейшем будем называть энергетической спектральной плотностью или просто энергетическим спектром функции

Рассматривая как среднюю (по времени) мощность В полосе 1 гц, можем написать

Здесь и далее черта над функцией означает операцию усреднения по времени.

Более строгое определение понятия «энергетический спектр» может быть дано с помощью следующих рассуждений.

Имея в виду стационарный случайный процесс, выделим конечный интервал времени и условимся рассматривать нерегулярный сигнал в этом интервале изолированно от левого и правого продолжений.

Такой отрезок функции удовлетворяющий требованию абсолютной интегрируемости, может быть в принципе представлен в виде интеграла Фурье:

где очевидно

Энергия сигнала в интервале времени согласно определяется выражением:

Относя эту энергию к интервалу получим среднюю в этом интервале мощность

Если устремить к бесконечности, то в пределе левая часть выражения (5.3) будет определять мощность, среднюю за всё время действия

Следовательно,

Из сравнения выражений (5.4) и (5.1) заключаем, что энергетический спектр может быть представлен в следующей форме:

где определяется выражением (5.2).

Следует отметить, что энергетический спектр являющийся весьма важной характеристикой сигнала, всё же имеет более ограниченное значение, чем спектральная плотность непериодического сигнала с конечной энергией (т. е. абсолютно интегрируемого). По заданному энергетическому спектру нельзя восстановить исходную функцию как это возможно сделать по заданной спектральной плотности для сигналов, представимых в виде интеграла Фурье. Иначе говоря, в случае нерегулярного сигнала возможен анализ функций, но не синтез. Это обстоятельство является результатом утери фаз всеми составляющими спектра сигнала при усреднении их мощности. Как будет видно из дальнейшего, обратное преобразование Фурье, применённое к позволяет найти не самую функцию а лишь функцию корреляции для исходной функции

Обратимся к второй важнейшей характеристике вероятностного процесса — вероятностному распределению. Выделив произвольный момент можем рассматривать как случайную

величину х, причём вероятность пребывания этой величины в интервале значений равна где так называемая плотность вероятности для х.

Вероятность пребывания х в конечном интервале определяется интегралом:

При любом непрерывном распределении существует равенство где хмин и нижний и верхний пределы возможных значений х.

Зная плотность вероятности можно определить основные параметры случайной величины: среднее статистическое значение, среднеквадратичное значение и средний квадрат отклонения от среднего значения (дисперсия).

В теории вероятностей доказываются следующие соотношения.

Среднее статистическое значение, случайной величины (или математическое ожидание)

Среднеквадратичное значение.

Средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения (дисперсия)

Соотношение (5.9) может быть приведено к виду:

Учитывая, что получим

В выражениях (5.7) — (5.10) черта над случайной величиной обозначает усреднение по системам. Это нужно понимать следующим образом: повторяя много раз случайный процесс и определяя каждый раз значение момент

получим последовательность независимых случайных величин х. Усреднение по указанным процессам при числе испытаний, стремящемся к бесконечности, приводит к выражениям

Важность выражений (5.7) — (5.10) для характеристики нерегулярных сигналов определяется следующим свойством стохастических процессов: усреднение случайны величины по системам эквивалентно усреднению случайного процесса по времени (эргодичёская теорема).

На основании этого свойства в случае стационарного вероятностного процесса выражение (5.7) можно применить для определения постоянной составляющей сигнала, т. е. среднего по времени значения а выражение -для определения средней мощности сигнала.

Ясно также, что выражение (5.10) определяет среднюю мощность флуктуаций в виде разности среднего квадрата и квадрата постоянной составляющей функции

Энергетический спектр совместно с плотностью вероятности (или для параметра этой функции, представляющего собой случайную величину) полностью характеризует нерегулярный сигнал.