§ 5.4. Условное представление нерегулярного сигнала в виде тригонометрического ряда

Иногда удобно представлять нерегулярный сигнал в виде ряда Фурье. Это может быть достигнуто, если функцию рассматривать не изолированно в промежутке а продолжить периодически вне указанного интервала.

Это равносильно замене реального сигнала новой периодической функцией совпадающей с в интервале Для можно, очевидно, написать

или

где

Если интервал выбран настолько большим, что функция успевает проявить все основные свойства функции то выражением (5.23) или (5.24) можно пользоваться для энер гетических и некоторых иных расчётов, не считаясь с тем, что линейчатый спектр возник в результате подмены нерегулярной функции фиктивной периодической функцией Ясно, что при очень больших значениях линейчатый спектр функции мало отличается от сплошного. Связь между легко устанавливается с помощью вывода, подобного выводу Относя среднюю мощность составляющей с частотой к полосе частот получим

откуда

Формулы (5.23) и (5.24) особенно удобны для представления нерегулярных сигналов, подчиняющихся нормальному закону распределения.

В этом случае из независимости слагаемых ряда (5.23) вытекает случайность фаз Если применить выражение (5.24) к большому числу отрезков то изменяясь случайным образом от одного отрезка к другому, образуют последовательности случайных величин, распределённых нормально около нулевого значения.

Дисперсии или т. е. или легко определяются с помощью следующих рассуждений. Из и (5.26) следует:

Так как правая часть есть постоянная величина, то усреднение левой части по интервалам даёт

Кроме того, должно выполняться равенство поскольку случайные величины имеют одинаковое распределение (это вытекает из равновероятности в интервале от О до ). Ясно поэтому, что