§ 1.6. Распределение энергии в спектре

Допустим, что протекающий в электрической цепи ток представляет собой периодическую функцию с периодом Средняя за период мощность, выделяемая током в сопротивлении потерь, пропорциональна среднему квадрату который может быть выражен через амплитуды гармоник тока:

где взаимно сопряжённые комплексные амплитуды гармоники, модуль комплексной амплитуды.

Смысл заключается в том, что средняя за период мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых каждой гармоникой в отдельности.

Формула, аналогичная выражению (1.48), может быть выведена и для непериодической функции С этой целью представим квадрат модуля спектральной плотности в виде:

где определяется ф-лой (1.1), а сопряжённая ей функция формулой:

Полагая спектр функции простирающимся от до бесконечности, проинтегрируем в пределах от со до

Но в соответствии с ф-лой

Следовательно,

и окончательно:

В отличие от выражения (1.48), ф-ла (1.50) определяет не среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсолютно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию, выделяемую сигналом за всё время его действия

По виду функции можно судить о распределении энергии в спектре непериодической функции, и поэтому ф-ла (1.50) может быть использована для выбора полосы пропускания электрической цепи, обеспечивающей достаточно полное использование энергии сигнала. В частности, при действии сигнала на фильтр нижних частот с затуханием, равным нулю в полосе частот от до и равным бесконечности вне этой полосы, энергия на выходе фильтра равна

где сигнал на выходе цепи.

Так, например, в случае прямоугольного импульса электродвижущей силы с амплитудой действующей на входе фильтра с полосой пропускания от до согласно получим

где

Произведя интегрирование, получим

Множитель есть полная энергия входного импульса (при сопротивлении цепи, равном 1 ом). Функция

характеризующая используемую часть энергии, изображена на рис. 1.14. Из этого рисунка видно, что при т. е. при используется более 0,9 полной энергии импульса.

Рис. 1.14. Используемая часть энергии прямоугольного импульса в полосе частот от до о (полная энергия импульса приравнена единице)

Аналогичным образом легко устанавливается связь между и степенью использования энергии импульсов различной формы. Для единичного импульса полная энергия, равномерно распределённая по бесконечно широкому спектру, очевидно, равна бесконечности. В полосе частот от до сосредоточена энергия, пропорциональная

Это положение может быть распространено на импульсы произвольной формы, но столь малой длительности, что в выделяемой полосе частот от до спектральную плотность можно считать постоянной и равной площади импульса.

В частности, для рассмотренного выше прямоугольного импульса при энергию выходного сигнала можно считать пропорциональной величине

Для «колокольного» импульса (см. № 9 в нижеследующей таблице) в соответствии с ф-лой находим

где интеграл вероятностей.

Поскольку полная энергия импульса (т. е. при ) равна

то отношение энергии в полосе частот от до к полной энергии определяется табличной функцией

Если длительность импульса определять по уровню равному, например, от максимального, т. е. из условия

Таким образом, интересующее нас отношение эдергий определяется функцией В частности, при функция

Следовательно, для -процентного использования энергии импульса требуется полоса частот Само собой разумеется, что в зависимости от способа определения длительности колокольного импульса аргумент может несколько отличаться от

Следует отметить, что хотя между используемой долей энергии входного сигнала и искажениями, вносимыми системой, существует прямая связь, энергетический подход к выбору полосы пропускания цепи (фильтра) не всегда является исчерпывающим. Так, например, в случае прямоугольного импульса на входе фильтра значительное увеличение полосы пропускания сверх определённой величины, достаточной для достижения максимальной амплитуды, лишь в слабой степени влияет на используемую энергию, хотя для повышения крутизны фронтов выходного импульса это расширение полосы необходимо. Это положение можно пояснить и на обратном примере: если при заданной полосе фильтра неограниченно удлинять импульс, то величина используемой энергии стремится к единице, а искажения фронтов импульса остаются неизменными.

Отсюда видно, что более наглядное и непосредственное суждение о влиянии цепи при передаче импульсов можно получить путём нахождения и анализа формы сигнала на выходе цепи.

Эти вопросы рассматриваются в гл. 2.

Ниже приведена таблица спектральных плотностей для некоторых импульсов.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)