§ 7.6. Применение теоремы наложения к огибающим

Знание переходной функции для огибающей позволяет находить огибающую напряжения на выходе произвольного четырёхполюсника при любом законе изменения огибающей эдс на входе. Пусть на входе четырёхполюсника, начиная с момента действует высокочастотная эдс . Разобьём ось времени на равные интервалы которые для удобства рассуждении положим кратными периоду и заменим заданную огибающую новой огибающей (рис. 7.7), представляющей собой ломаную линию, вписанную в кривую

Включению при выходное напряжение где переходная функция для огибающей определяемая выражением (7.8), считается известной.

Приращение огибающей эдс в момент можно рассматривать как результат включения дополнительной эдс

совпадающей по фазе с ранее возникшей (в момент

Этой новой эдс соответствует напряжение на выходе

Суммарное выходное напряжение на протяжении будет

В соответствии с оговоренным ранее условием кратности можно считать равными.

Таким образом,

Рис. 7.7. Пояснение к доказательству теоремы наложения для огибающих

Итак, по отношению к огибающим в линейных системах сохраняется принцип наложения, следовательно, скачкообразному приращению огибающей эдс (в момент Д) соответствует приращение огибающей выходного напряжения, определяемое выражением:

Это даёт основание применить непосредственно к огибающей обычный вывод интеграла Дюамеля, как было нами сделано [14] при рассмотрении процесса установления огибающей в случае амплитудной модуляции.

Составив выражение, аналогичное (7.41). для -го интервала,, обозначим перейдя к бесконечно малым интервалам времени, получим

откуда искомая огибающая

К огибающей приложимы также и другие известные формы интеграла Дюамеля.

Полученный выше результат справедлив для произвольной линейной системы. В случае избирательной системы переходную функцию удобно определять по ф-ле (7.8) с подстановкой приближённого выражения для коэффициента передачи цепи [см. ф-лы (7.13), (7.26), (7.32) и т. д.].

При резонансе функция переходит в вещественную функцию от соответственно чему и также является вещественной функцией, непосредственно определяющей амплитуду выходного напряжения. При расстройке амплитуда определяется как модуль комплексной величины

Обобщение на случай расстройки может быть достигнуто и без перехода к комплексной переходной функции если эдс с частотой представить в виде суммы двух эдс:

Рассматривая как огибающие электродвижущих сил, частоты которых совпадают с резонансной частотой системы, и применяя к этим огибающим формулу (7.6), можно найти вещественную и мнимую части, а затем модуль огибающей на выходе цепи.

Поясним применение к огибающим теоремы наложения на некоторых примерах.

Рассмотрим возникновение тональной модуляции амплитуды высокочастотной эдс, действующей на простой колебательный контур. Частоту заполнения примем равной

Таким образом, эдс может быть задана условиями: при

Условимся считать, что к моменту начала модуляции амплитуда тока в контуре (несущее колебание) достигла своего установившегося значения

Тогда, в соответствии с выражением (7.42), имеем;

Переходная функция для одиночного колебательного контура, согласно выражению (7.16) равна

Подставив эти величины в получим для огибающей тока следующее выражение:

Произведя интегрирование, получим (для

где

Из выражения (7.45) следует, что возникновение модуляции сопровождается переходным процессом, в результате которого огибающая амплитуд тока искажается в начале модуляции.

Рассмотрим теперь прохождение через колебательный контур высокочастотного импульса с огибающей в виде синусоидальной полуволны (рис. 7.8). В данном случае имеем

при

Как и в предыдущем примере, считаем .

Применяя ф-лу (7.42), находим огибающую на выходе контура:

при

при

Произведя интегрирование, получим:

при

при

Огибающая выходного напряжения при изображена пунктирной линией на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Изменение формы огибающей высокочастотного импульса в резонансном контуре при а— 1

Особенно простое выражение получается при воздействии на контур эдс с линейно нарастающей огибающей [см. ф-лы (7.24) и (7.25)].

Применяя ф-лу (7.42), находим

Исследуем ещё случай включения гармонической эдс на колебательный контур при расстройке Имея в виду

выражение (7.43) и полагая при решим задачу, аналогичную примеру с амплитудной модуляцией [см. ф-лы (7.44) и (7.45)], для огибающих

Отбрасывая в решении (7.45) член приравнивая и заменив расстройкой получим огибающую на выходе, соответствующую входной огибающей

Подобным же образом, приравняв для огибающей, соответствующей слагаемому получим

Амплитуду выходного напряжения определяем как модуль

Из приведённых примеров видно, что теорема наложения (интеграл Дюамеля) не открывает каких-либо новых возможностей по сравнению с методом, основанным на преобразовании Лапласа. Применение теоремы наложения оказывается целесообразным только в тех случаях, когда огибающая не может быть выражена аналитически или когда изображение для функции оказывается слишком сложным. В таких случаях интеграл Дюамеля позволяет составить решение в форме, удобной для численного интегрирования.

Отметим в заключение, что, как показал С. И. Евтянов, огибающая на выходе линейной системы может быть найдена в форме интеграла Дюамеля, выраженного через переходную функцию, соответствующую единичному скачку входного напряжения (а не скачку огибающей, как это было принято выше).