§ 5.2. Совокупность гармонических колебаний с случайными фазами

Начнём с простейшего сигнала — гармонического колебания

Если колебания рассматривать как случайную величину, равновероятную в интервале от до то и мгновенные значения соответствующие случайно выбранным X, образуют последовательность случайных величин.

Плотность вероятности для случайной величины может быть определена следующим образом.

Выделив полоску ограниченную значениями (рис. 5.1), на основании выражения можем считать, что вероятность попадания в полоску равна С другой стороны, для того, чтобы приняло одно из возможных значений в области фаза X должна быть заключена в одном из двух интервалов

Ввиду равновероятности фаз в интервале от до вероятность попадания случайной фазы в интервал очевидно равна отношению отрезка

Отсюда следует, что

Таким образом, плотность вероятности

Поскольку при

окончательно получаем

Рис. 5.1. Определение области значений гармонического колебания, соответствующей заданному интервалу

Рис. 5.2. Плотность вероятности для гармонического колебания с случайной фазой

График представлен на рис. 5.2. Формула (5.11) и рис. 5.2 характеризуют, в частности, распределение яркости (по вертикали) на экране электронного осциллографа при подаче на отклоняющие пластины гармонического колебания, не синхронизованного с частотой развёртки.

Особо следует подчеркнуть независимость от частоты колебания.

Среднее статистическое значение случайной величины в соответствии с ф-лой (5.7) определится выражением:

Подобным же образом находим дисперсию

Полученные выражения для совпадают с результатами усреднения по времени. Это совпадение, являющееся не случайным, вытекает из упомянутого выше свойства стационарных вероятностных процессов.

Рассмотрим теперь совокупность гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и частотами, но с случайными фазами:

Как и ранее, фаза считается равновероятной в интервале от до

Величина соответствующая какому-либо фиксированному моменту времени зависит от соотношения фаз слагаемых вида

Если большое число раз выделять момент каждый раз при новом случайном соотношении фаз, то получаемая при этом последовательность случайных величин будет обладать вероятностным распределением, отличным от распределения вида (5.11). Задача сводится, следовательно, к отысканию закона распределения суммы

при заданном распределении для слагаемых

Эта задача в теории вероятностей решается с помощью центральной предельной теоремы, доказанной русским математиком Ляпуновым

Согласно этой теореме распределение для суммы независимых случайных величин с увеличением числа слагаемых, при некоторых оговоренных ниже условиях, стремится к так называемому нормальному закону

где математическое ожидание, равное сумме математических ожиданий слагаемых, а - дисперсия, равная сумме дисперсий слагаемых.

Условия применимости центральной предельной теоремы сводятся к следующим:

— число слагаемых велико,

— слагаемые являются величинами одинакового порядка.

Из этих двух условий вытекает и третье: каждое из слагаемых мало по сравнению с суммой.

Упомянутая теорема справедлива при любом законе распределения для слагаемых. Если же распределение самих слагаемых подчинено нормальному закону, то приведённые выше ограничения отпадают. Иными словами, при сложении нормально распределённых и независимых случайных величин сумма распределена также по нормальному закону при любом числе слагаемых и при любом соотношении их дисперсий.

Применительно к выражению (5.15), учитывая, что в соответствии с ф-лами (5.12) и (5.13) значения можем написать:

Отметим, что последний результат совпадает с усреднённым (по времени) квадратом суммы гармонических колебаний с неодинаковыми частотами (см. § 1.6). Это и естественно, поскольку в энергетическом отношении совокупность гармонических колебаний с разными частотами эквивалентна такой же совокупности гармонических колебаний с одинаковыми частотами, но с случайными фазами. Допущение о случайности фазы вообще исключает влияние частоты колебания на величину мгновенного

значения, вносимого данной составляющей в общую сумму. Это значение определяется только законом распределения для слагаемых колебаний, который не зависит от частоты [см. ф-лу (5.11)].

Из всего хода приведённых выше рассуждений, а также из второго условия применимости центральной предельной теоремы следует, что для приближения распределения к нормальному сделанное выше допущение об одинаковости амплитуд отдельных слагаемых вовсе не обязательно. Достаточно, чтобы в составе отсутствовали гармонические колебания с дискретной частотой, соизмеримые по амплитуде с среднеквадратичным значением а фазы различных составляющих были взаимно независимы.