§ 8.2. Случай гармонической электродвижущей силы

Для выяснения смысла ф-л (8.9) и (8.10) и уточнения выражения (8.10) в отношении свободного члена рассмотрим сперва простое воздействие (гармоническая эдс), при различных соотношениях между частотой эдс и величиной

Пусть представляет собой гармоническую эдс с частотой это означает, что Коэффициент передачи четырёхполюсника для определённости зададим в виде:

Из разложения

непосредственно следует:

Радиус сходимости в данном случаи равен

Подставив значения из равенств (8.13), а также и производные найдём

Учитывая, что при сот выражения в скобках можно написать в виде дроби получим

где

Разумеется, при гармонической эдс это решение может быть получено более простым путём по обычным законам теории переменных токов. Однако изложенный способ обладает некоторыми преимуществами. Как показывает рассмотренный выше пример для при выполнении условия в решении (8.9) можно ограничиться первыми двумя членами:

Существенно, что подобное упрощение можно распространить на любую функцию для которой обеспечивается быстрое убывание членов суммы (8.9). В подобных случаях первая часть общего решения (8.11) имеет самостоятельное значение. Смысл такого решения (при заключается в том, что искомая функция на выходе линейной системы определяется в виде последовательных приближений. При этом член соответствует статическому рассмотрению процесса, а член пропорциональный скорости изменения во времени функции воздействия учитывает в первом приближении динамику процесса.

Поясним применение на примере электродвижущей силы, составленной из двух гармонических функций с одинаковыми амплитудами и с частотами причём где постоянная времени цепи (последовательное соединение).

Требуется найтй ток в цепи, не разлагая на составляюшие гармоники.

Коэффициент передачи цепи и постоянные а определяются соответственно ф-лами (8.12) и (8.13). Таким образом, искомый ток ом)

Отказываясь от разложения на составляющие, найдём производные графически, по графику функции На рис. 8.1 изображены те и По характеру убывания последовательных приближений видно, что члены и более высокого порядка могут быть опущены.

Рис. 8.1. Графики первых трёх членов разложения в ф-ле (8.9)

Результирующая кривая тока полученная суммированием первых трёх членов выражения (8.17), показана на рис. 8.2. Результаты вычисления по точным формулам, с учётом ослабления амплитуд и сдвига фаз отдельных гармоник, входящих в отмечены точками.

Рассмотрим теперь случай гармонической эдс, частота которой Тогда

Последовательным интегрированием находим:

где постоянные.

Коэффициент передачи цепи, как и в предыдущем случае, зададим в виде (8.12). Тогда разложение коэффициента передачи по степеням можно представить следующим образом:

и

Рис. 8.2. Результирующая кривая тока полученная суммированием первых трёх членов выражения (8.17) Точками обозначены результаты точного вычисления

Отсюда получаем

Разложение (8.19), очевидно, сходится при

Подставив выражения (8.18) и (8.19) в получим:

Учитывая, что

(если

получаем

где В — постоянная,

Полученный результат показывает, что возникающий при последовательном интегрировании свободный член имеет смысл затухающего напряжения (тока), связанного с включением эдс в момент Поскольку в рассматриваемом случае представляет собой гармоническую эдс, действующую при — свободный член может быть отброшен как не имеющий физического смысла.

Это положение, очевидно, сохраняет силу и для произвольной функции составленной из гармонических составляющих с частотами где определяется параметрами системы.

Из вышеизложенного следует, что общее решение (8.11) может быть представлено ещё и в такой форме:

где слагаемое обращает в нуль затухающий член, возникающий при последовательном интегрировании в пределах