§ 1.2. Некоторые свойства преобразований Фурье

Из рассмотрения прямого и обратного преобразований (1.1) и (1.2) можно сделать некоторые общие заключения о характере при заданной функции наоборот, о функции при заданной функции

Если в обратном преобразовании (1.2) заменить на где постоянная величина, имеющая размерность времени, то переходит в

Действительно,

Это означает, что если всем составляющим спектра функции дать фазовый сдвиг линейно связанный с частотой , то функция сдвигается во времени Очевидно и обратное положение: сдвиг во времени функции на величину означает изменение фазовой характеристики спектральной плотности на величину

Из указанных свойств преобразований (1.1) и (1.2) вытекают требования к линейным системам: для устранения искажений сигнала фазовая характеристика системы должна быть линейна в пределах всего спектра сигнала (или, по крайней мере, той части спектра, в которой сосредоточена подавляющая часть общей энергии сигнала). Если это требование выполнено, то запаздывание или так называемое «время пробега» сигнала равно наклону фазовой характеристики цепи:

Отметим, что в физически выполнимых (реальных) цепях наклон фазовой характеристики всегда отрицателен в полосе пропускания, так что непериодический сигнал на выходе естественно не может опережать сигнал на входе цепи. Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 3.

Обратимся теперь к рассмотрению при разном характере функции

1. Пусть есть функция чётная относительно Переписав выражение (1.1) в виде:

убеждаемся, что при чётной второй интеграл равен нулю, так как произведение является функцией нечётной относительно

Следовательно, при чётной относительно функция определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и чётная относительно .

2. Если нечётна относительно то в нуль обращается первый интеграл и

Следовательно, в этом случае нечётная и чисто мнимая функция со.

Рис. 1.1. Соотношения между иллюстрирующие взаимозаменяемость переменных и

3. Если, наконец, не чётная и не нечётная функция относительно то можно разложить на две функции: чётную и нечётную

В этом случае представляет собой комплексную функцию со.

Из первого доказанного свойства вытекает, что в случае чётной функции в выражении (1.1) можно произвольно изменять знак перед . Следовательно, в этом случае интегралы в выражениях (1.1) и (1.2) совершенно подобны и переменные взаимно заменимы.

Из этого, в частности, следует, что если прямоугольному шпульсу (рис. 1.1а) соответствует спектр, показанный на рис. 1.16, то спектру с прямоугольной огибающей (рис. должна соответствовать функция времени изображённая на рис.

Так как в области частот (рис. 1.16) спектр можно считать почти неизменным, то рис. непосредственно

характеризует искажения, претерпеваемые прямоугольным импульсом при отбрасывании всех частот вне полосы при