§ 7.2. Прохождение модулированных колебаний через одиночный колебательный контур

Рассмотрим простой контур в виде последовательного соединения на который действует, начиная с момента высокочастотная эдс с произвольной огибающей. Частоту заполнения считаем близкой к резонансной частоте контура Имея в виду нахождение тока в контуре, зададим коэффициент передачи в виде следующего выражения (точного):

Представим отношение — в виде:

Тогда при можно написать

и, следовательно,

Для частот близких к когда можно, очевидно, ограничиться первым членом разложения (7.10). Тогда выражение (7.9) переходит в распространённую в радиотехнической практике формулу:

Если рассматривается действие сложной эдс, то подстановка приближённого выражения (7.11) в допустима только при условии, что почти вся энергия сигнала сосредоточена в полосе частот, удовлетворяющей неравенству

Иными словами, фактическая ширина спектра огибающей не должна превышать от несущей частоты Если это условие выполняется, то изменение вне указанной полосы частот не может оказывать влияния на выходной сигнал.

Когда спектральная плотность сигнала имеет сгущение вблизи частоты но не равна нулю в очень широкой полосе (например высокочастотная эдс с огибающей в виде единичного скачка), точность основанного на решения будет тем выше, чем больше добротность контура.

Действительно, если на границах полосы выполняется условие:

то модуль коэффициента передачи при увеличении расстройки обращается практически в нуль ранее, чем начинает проявляться расхождение величин

Ясно также, что с увеличением расстройки частоты заполнения относительно сор ошибка, связанная с применением приближённой растёт. Приведём выражение (7.11) к виду:

или

где — постоянная расстройка частоты относительно .

Переходя к переменной и обозначив можем написать:

где

Подставив выражение (7.13) в получим выражение для огибающей тока в контуре, справедливое при любой форме огибающей

Рассмотрим важный частный случай, соответствующий подаче гармонической эдс в колебательный контур. Учитывая выражения (7.7) и (7.8), получаем

где — амплитуда эдс.

Вычислив вычеты в полюсах найдём

Таким образом, ток в контуре в согласии с выражением (7.5) будет:

При резонансе, т. е. при получим:

Таким образом, переходная функция для огибающей (при резонансе)

Сравнивая полученное выражение с точным решением (2.66), убеждаемся, что обусловленная применением ошибка соответствует отбрасыванию слагаемых порядка по сравнению с единицей точном решении.

Аналогичное решение легко получается и для «параллельного» контура, включённого в анодную цепь электронной лампы. Для схемы, показанной на рис. 2.21, коэффициент передачи, трактуемый как отношение комплексной амплитуды определяется формулой:

где причём определяется по

Поскольку полученное выражение совпадает с точностью до постоянного коэффициента с (7.11), можем вместо (7.13) написать:

где

Подставив выражение (7.20) в ф-лу (7.8), получим для огибающей напряжения на контуре выражение, подобное (7.16):

При резонансе, очевидно,

Для определения амплитуды выходного напряжения при расстройке нужно найти модуль выражения (7.21). Подставив приведём выражение (7.21) к виду:

Отсюда видно, что модуль

График приведён на рис. 7.1 для нескольких значений а. Кривая соответствует резонансу. Рисунок 7.1 показывает, что с увеличением расстройки время установления несколько сокращается, причём огибающая принимает колебательный характер.

С увеличением а амплитуда выходного напряжения, естественно, уменьшается.

Рассмотрим теперь включение в контур высокочастотной эдс с линейно нарастающей огибающей

Изображение для подобной функции будет [см. ф-лу (2.4)]. Подставив получим

Определив вычеты в полюсах (кратный полюс) с помощью и (2.13), находим:

Рис. 7.1. Изменение огибающей на выходе однокаскадного резонансного усилителя при включении гармонической эдс. Расстройка

Нетрудно найти модуль этого выражения, который и определит характер зависимости огибающей выходного колебания (в данном случае тока в контуре).

При резонансе будем иметь:

По истечении достаточно большого времени с момента включения, огибающая будет нарастать по закону

Напомним, что здесь крутизна изменения огибающей эдс на входе цепи.

Подобным же образом могут быть рассмотрены любые огибающие входной эдс.

Из приведённых примеров ясно, что изложенная в гл. 2 методика исследования устанавливающихся токов и напряжений полностью применима к огибающим высокочастотных колебаний при надлежащем определении изображения и коэффициента передачи