ГЛАВА 8. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

§ 8.1. Решение, основанное на разложении коэффициента передачи в степенной ряд

Пусть на вход произвольного линейного четырёхполюсника, имеющего комплексный коэффициент передачи действует электродвижущая сила (абсолютно интегрируемая), частотный спектр которой простирается в общем случае от нуля до бесконечности. Искомая функция на выходе (напряжение, ток) четырёхполюсника формально может быть представлена в виде интеграла Фурье:

или, переходя к комплексному переменному в виде:

Воспользуемся разложением функции по степеням или соответственно по степеням

Пределы интеграла (8.1) требуют уточнения условий сходимости такого разложения при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Пусть радиус сходимости разложения по степеням равен Тогда, очевидно, вся плоскость переменного может быть разбита на две области: одну в виде круга с центром в точке и радиусом и вторую — в виде всей остальной плоскости вне указанного круга.

Внутри первой области обеспечена сходимость разложения функции по положительным степеням т. е. разложения в ряд Тейлора.

Во второй области функция может быть разложена по отрицательным степеням или, вводя новую переменную по положительным степеням

При изменении частоты от 20 до модуль переменного изменяется от до 0. Таким образом, на плоскости получается круг с центром в точке и радиусом

Для большей наглядности излагаемого принципа будем считать, что внутри указанного круга функция не имеет особенностей. Как выяснится в дальнейшем, это условие не вносит существенных ограничений при рассмотрении колебательных цепей и огибающих высокочастотных колебаний.

Поскольку в каждой из областей переменного или функция или соответственно является аналитической, очевидно, что задание функции и её производных в какой-либо одной точке однозначно определяет эту функцию во всей области. Удобно в качестве таких точек выбрать для первой области и для второй. Полагая в дальнейшем можем для первой области написать

а для второй области

Здесь

В соответствии с упомянутыми двумя областями сходимости разложения интеграл Фурье, представляющий эдс на входе четырёхполюсника, должен быть разбит на два интеграла. Иными словами, действующая на входе цепи функция должна быть разбита на две функции таким образом, чтобы частотный спектр функции не выходил за пределы , а спектр функции за пределы

Эти условия сводятся к следующим выражениям:

Разбив выражение (8.1) в соответствии с ф-лами (8.7) на два слагаемых и подставив ряд (8.3) в первое слагаемое и ряд (8.4) — во второе, получим выходное напряжение в виде:

Произведение можно рассматривать как результат -кратного дифференцирования по выражения Меняя местами операции интегрирования по и дифференцирования по можно представить первое слагаемое лравой части выражения (8.8) в виде:

Подобным же образом, рассматривая как результат -кратного интегрирования по выражения можно

(с точностью до свободного члена) привести второе слагаемое выражения (8.8) к виду:

Таким образом, полное решение можно представить в форме

Формула (8.11) позволяет выразить напряжение на выходе четырёхполюсника через производные и интегралы соответствующих частей и через постоянные имеющие смысл коэффициента передачи и его производных в точках и

Последнее обстоятельство является, по существу, результатом использования принципа аналитического продолжения для функции