95. Граничные условия

На твердых поверхностях скорость v равна нулю, или, в более общем виде, скорость на поверхности непрерывна. Исключение из этого правила встречалось в разд. 62, посвященном электрокинетическим явлениям, где разрыв скорости был связан с тангенциальным электрическим полем. Однако этот разрыв получен после анализа течения в диффузном двойном слое, тогда как в детальном анализе скорость была непрерывной. Впрочем, нет необходимости рассматривать электрокинетические явления во всех процессах.

На границе раздела двух жидкостей скорость может быть заранее неизвестной, и тогда приходится рассматривать связь между напряжениями трения в обеих фазах! Если граница раздела имеет пренебрежимо малую массу [см. примечание к уравнению (50-4)], то силы на границе раздела должны уравновешиваться. В простейшем случае это означает непрерывность тангенциального напряжения (трения).

Обозначим обе фазы верхними индексами , и пусть силы, приложенные со стороны этих фаз к единице площади поверхности, будут Эти силы определяются произведением напряжения и единичного вектора нормали к поверхности:

и

где вектор направлен в сторону фазы . Заметим, что в работе [2] напряжение выражено в различных системах координат.

Рис. 95-1. Тангенциальные силы, приложенные к элементу поверхности в плоскости

На рис. 95-1 показан элемент поверхности, лежащий в плоскости листа. Баланс сил в направлении оси дает

Здесь a — поверхностное натяжение (дин/см). Если разделить уравнение (95-3) на и устремить к нулю, то получается

Аналогичное уравнение можно найти для баланса сил в направлении оси z. В делом имеем

где обозначают составляющие лежащие на поверхности, а поверхностный градиент.

Тангенциальные части сил по своей природе являются вязкими, и если поверхностное натяжение не зависит от положения на поверхности, то уравнение (95-5) эквивалентно утверждению о непрерывности тангенциального вязкого напряжения. Из баланса нормальных составляющих сил получаем

где главные радиусы кривизны поверхности. Нормальные составляющие и наряду с нормальным вязким напряжением включают также термодинамическое давление . Нужные знаки при радиусах кривизны в уравнении (95-6) подбираются так, чтобы давление внутри капли или пузырька было больше наружного давления.

Эти элементы динамики поверхности являются составной частью анализа электрокапиллярных явлений (гл. 10).

Заметим, что в уравнении (93-4) или (94-4) фигурирует лишь градиент давления. Следовательно, иногда можно решить задачу, пользуясь этим градиентом и вовсе не обращаясь к самому давлению. В этом случае достаточно выбрать давление лишь в одной точке.