Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Доказательство основной теоремы для произвольных прямоугольных игрВ этом параграфе мы докажем для прямоугольных игр основную теорему, которая иногда называется «теоремой о минимаксе». Мы покажем, что если функция Е определена так, как в разделе 1, то для любой прямоугольной игры величины
существуют и равны между собой. Докажем предварительно лемму о матрицах. Лемма 2.5. Пусть дана матрица
Тогда 1) либо существует элемент
2) либо существует элемент
Доказательство. В этом доказательстве мы будем использовать дельта-символы Кронекера, которые определяются следующим образом:
Положим
Тогда Положим также
Таким образом,
Пусть
Из уравнения (4) следует
или, как это следует из определения дельта-символов,
Так как
Заметим теперь, что
так как иначе, поскольку
то есть на основании равенства (5)
что противоречит тому, что
Из неравенств (6) и (7) мы заключаем, что
Так как из равенств (8) очевидно, что Предположим теперь, что
Так как z лежит на гиперплоскости, то мы имеем
и следовательно, Таким образом, уравнение гиперплоскости имеет вид
Можно предположить, что любая точка
ибо если точки множества С удовлетворяют неравенству
то, умножая его на —1, получим
и можно получить неравенство (10), заменив —
а это означает (согласно определению дельта-символов), что
Кроме того, (10) должно быть справедливо для точек
Из неравенства (11) ясно, что
Из выражений (12) и (13) мы заключаем, что
и тем более
Поскольку из выражений (11) и (13) следует, что Докажем основную теорему теории прямоугольных игр. Теорема 2.6. Пусть
— некоторая матрица, и пусть математическое ожидание выигрыша
Тогда величины
и
существуют и равны между собой. Доказательство. Для каждого
существует для любого Y из
есть непрерывная кусочно-линейная функция
существует. Аналогично можно показать, что
существует. Если первое условие леммы 2.5 выполняется, то существует элемент
и, следовательно, такой, что для любого
Так как (15) справедливо для любого
и, следовательно,
Аналогично заключаем, что если условие (2) леммы 2.5 выполнено, то
Но поскольку выполняется либо условие (1), либо условие (2) леммы 2.5, то по крайней мере одно из двух неравенств, (16) или (17), должно выполняться, и, следовательно, неравенство
не может быть справедливо. Пусть
и пусть
Тогда, точно так же, как мы показали, что неравенство (18) неверно для А, мы можем показать, что неравенство
неверно для
а из условий (20) и (21) мы заключаем, что. неравенство
неверно. Следовательно, неверно неравенство
Поскольку (23) неверно для любого
неверно, отсюда справедливо неравенство
С другой стороны, согласно теореме 1.1, мы имеем
из неравенств (24) и (25) следует, что
что завершает доказательство теоремы. В терминах теории игр теорема 2.6 может быть сформулирована следующим образом. Теорема 2.7. Всякая прямоугольная игра имеет цену, игрок в прямоугольной игре всегда имеет оптимальную стратегию. Доказательство теоремы легко вытекает из теорем 2.6 и 1.5.
|
1 |
Оглавление
|