Упражнения

1. Непрерывная игра имеет платежную функцию М, определенную следующим образом:

Покажите, что точка — седловая для этой функции. Иными словами, вспомнив определения, данные в главе I, покажите, что неравенства

справедливы для всех х и у, лежащих в замкнутом интервале . Отсюда выведите, что цена игры (для ) равна и что оптимальный способ игры для — взять а оптимальный способ игры для — взять

2. Непрерывная игра имеет платежную функцию, определенную следующим образом:

где G и Н суть функции, определенные на замкнутом единичном квадрате. Покажите, что цена игры равна 0, оптимальной стратегией для будет выбор , а для -выбор Иными словами, покажите, что неравенства

справедливы для всех лежащих в замкнутом интервале [0, 1].

3. Пусть М — платежная функция непрерывной игры, и пусть существуют во всех точках открытого единичного квадрата, то есть для всех х и у, таких, что

Покажите, что если есть седловая точка игры, лежащая в открытом единичном квадрате, то

4. С помощью предложения, установленного в упражнении 3, найдите седловую точку и, следовательно, цену и оптимальные стратегии непрерывной игры, имеющей платежную функцию

5. Найдите значение k, такое, чтобы игра с платежной функцией

имела нулевую цену.

6. Покажите, что игра с платежной функцией

не имеет седловой точки внутри открытого единичного квадрата. Покажите, что игра не имеет седловой точки вида Найдите число такое, что будет седловой точкой.

7. Найдите неравенства, которым должны удовлетворять коэффициенты чтобы игра с платежной функцией

имела седловую точку в открытом единичном квадрате.

8. Покажите, что всякая непрерывная игра, имеющая платежную функцию вида

имеет седловую точку (которая, однако, может лежать на границе единичного квадрата).

Указание. Используйте известное положение, что всякий многочлен данного типа может быть представлен в виде

где — действительные числа.

9. Покажите, что непрерывная игра с платежной функцией

совсем не имеет седловой точки, то есть не имеет седловой точки ни внутри единичного квадрата, ни на его границе.

10. Покажите, что непрерывная игра с платежной функцией

совсем не имеет седловой точки.

11. Пусть и - непрерывные возрастающие функции (то есть такие, что из следует и ) удовлетворяющие равенствам

и пусть функция М определена следующим образом:

Покажите, что игра, платежная функция которой есть М, не имеет седловой точки.

Указание. Из условия относительно следует, что существует единственная точка и в [1, 0], такая, что

12. Покажите, что игра с платежной функцией имеет седловую точку (смотрите определение символа в примере 7.2).

13. Вычислите для игры, описанной в примере 7.2.

14. Покажите, что игра, описанная в примере 7.2, имеет цену,если принять . Найдите эту цену и пару оптимальных стратегий.

15. Измените формулировку примера 7.2 для того случая, когда позиция А имеет ценность в 1 полк, а позиция В имеет ценность в с полков (с > 1).

16. Покажите, что если М есть ограниченная функция, определенная на единичном квадрате и имеющая седловую точку, то

и

существуют и равны между собой.

17. Платежная функция игры определена так:

Найдите цену игры v. Какая стратегия игрока гарантирует ему, что он получит по меньшей мере ?