Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4. Дальнейшие примерыПример 11.18. Платежная функция М разделимой игры удовлетворяет следующему равенству (для любой точки
Возьмем
так что M представится следующим образом:
Итак, пространства U и W имеют два измерения. Для нахождения U мы чертим кривую, соответствующую параметрическим уравнениям
Эта кривая, очевидно, есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат (поскольку мы чертим кривую для Очевидно, данное представление является каноническим, так как
этого примера уравнения (28) записываются так:
а уравнения (29) так:
Решения этой системы, очевидно, такие: Таким образом, задача отыскания решений данной игры сводится к задаче отыскания функций распределения, которым соответствует точка
Поскольку
Эти уравнения наряду с неравенством
указывают, что либо
есть оптимальная стратегия для
Обобщая это рассуждение, мы находим, что наиболее общий вид функции распределения с двумя ступенями, соответствующей точке
где Аналогично можно написать общее выражение для оптимальной стратегии игрока
где Однако существуют также оптимальные стратегии больше чем с двумя ступенями. Если
Решая совместно эти уравнения, получаем:
Поскольку, как легко видеть, 10 соответствует точке
где Конечно, существуют также оптимальные стратегии, не являющиеся ступенчатыми функциями. Так, функция распределения F такая, что
есть непрерывная оптимальная стратегия для Из теоремы 11.12 следует, что цена этой игры для Пример 11.19. Платежная функция разделимой игры (для любой точки
Мы примем здесь
так что
Мы замечаем, что
и следовательно, М представлена в канонической форме. Вспомнив, что
представленная на рис. 43 дугой ABC (угол Первую критическую точку мы находим, решая уравнения
Отсюда заключаем, что точка
Рис. 43.
Рис. 44 Следовательно, для отыскания решений этой игры нужно лишь найти функции распределения, которые соответствуют точкам Пример 11.20. Платежная функция разделимой игры для любой точки
Положив
мы имеем:
Теперь легко убедиться в том, что пространство U состоит из точек, лежащих на или внутри окружности
а пространство W состоит из точек, лежащих на или внутри окружности
Первая и вторая критические точки суть
Если бы U содержало две различные фиксированные точки (которые обе должны были бы лежать на этой окружности), то по теореме 11.9 все точки хорды, соединяющей эти фиксированные точки, также были бы фиксированными. Это противоречило бы утверждению, что всякая фиксированная точка пространства U лежит на границе U. Поэтому пространство U содержит лишь одну фиксированную точку. Аналогично пространство W содержит тоже лишь одну фиксированную точку. Поскольку в этом примере Следующий пример показывает, что когда Пример 44.21 Платежная функция разделимой игры удовлетворяет (для любой точки
Положив
мы имеем:
и отсюда
И первая, и вторая критические точки суть
Рис. 45.
Рис. 46. В примере 11.20 мы видели, как можно использовать следствие 11 15 для разбора некоторых игр, в которых ни одно из пространств U или W не содержит в себе, своих критических точек. Следующий пример поясняет, как можно использовать это следствие для исследования игр, у которых одна критическая точка лежит в соответствующем ей пространстве, а другая не лежит. Пример 11.22. Платежная функция М разделимой игры (для любой точки
Положив
мы можем легко убедиться, что пространство U представляет окружность
вместе с ее внутренней частью, а пространство W представляет окружность
вместе с ее внутренней частью. В этом случае критическая точка есть Поскольку вторая критическая точка не принадлежит пространству W, то на основании следствия 11.15 мы видим, что фиксированные точки пространства U находятся только в
|
1 |
Оглавление
|