Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Изоморфные игрыОпределение 16.8. Две игры
тогда и только тогда, когда
Легко показать, что соотношение изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно. Кроме того, мы имеем следующую очевидную теорему. Теорема 16.9. Предположим, что игры v и v изоморфны при соотношении Следующая теорема гласит, что Теорема 16.10. Пусть v и
Тогда соотношение Доказательство. Сначала покажем, что если
Далее, для каждого i мы имеем (из условия S-эквивалентности):
а поскольку (ввиду того, что
мы заключаем, что
что и требовалось доказать. Для завершения доказательства достаточно показать, что если Т — любое подмножество игроков и если и
то
Но для любого члена i множества Т мы имеем
и, в силу положительности
следовательно,
Далее, поскольку
мы видим на основании теоремы 15.7, что
Теорема доказана. Следствие 16.11. Пусть
где Это следует из теорем 16.10 и 16.9. Следствие 16.12. Если всякая игра в приведенной форме имеет решение, то всякая соответствующая ей произвольная игра имеет решение. Это следует из теоремы 15.12 и следствия 16.11. Замечание 16.13. Итак, чтобы показать, что всякая игра имеет решение, достаточно показать, что всякая игра в приведенной форме имеет решение (причем следствие 16.11 позволит нам даже найти решения произвольных игр, если мы сможем найти решения всех игр в приведенной форме). Кроме того, как мы видели, всегда имеется лишь один исход для несущественной игры в приведенной форме, а именно Замечание 16.14. Можно подумать, что для того, чтобы считать определение решения удовлетворительным, необходимо, чтобы данная игра имела единственное решение. Однако фон Нейман не согласен с этим взглядом и считает, что данное решение представляет просто принятый обществом стандарт поведения, и, следовательно, может и должно быть много решений, соответствующих многим возможным устойчивым состояниям общества. Его позиция в этом отношении станет нам более ясной после того, как мы найдем способ отыскания всех решений игр трех лиц.
|
1 |
Оглавление
|