3. Изоморфные игры

Определение 16.8. Две игры лиц называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствием между исходами игр v и такое, что если — исходы для и — исходы для , то для всякого подмножества игроков Т

тогда и только тогда, когда

Легко показать, что соотношение изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно. Кроме того, мы имеем следующую очевидную теорему.

Теорема 16.9. Предположим, что игры v и v изоморфны при соотношении — решение игры — множество всех исходов а такое, что для некоторого а в А. Тогда А есть решение игры .

Следующая теорема гласит, что -эквивалентность есть достаточное условие для изоморфизма. Можно также показать (доказательство мы опускаем), что это условие необходимо.

Теорема 16.10. Пусть v и — две игры, -эквивалентные при константах k и . Если есть какой-либо исход для мы положим

Тогда соотношение устанавливает изоморфизм между v и

Доказательство. Сначала покажем, что если — какой-либо исход для v, то — исход для самом деле, поскольку , мы имеем

Далее, для каждого i мы имеем (из условия S-эквивалентности):

а поскольку (ввиду того, что есть исход для )

мы заключаем, что

что и требовалось доказать.

Для завершения доказательства достаточно показать, что если Т — любое подмножество игроков и если и — такие исходы (для ), что

то

Но для любого члена i множества Т мы имеем

и, в силу положительности ,

следовательно,

Далее, поскольку

мы видим на основании теоремы 15.7, что

Теорема доказана.

Следствие 16.11. Пусть — две игры, S-эквивалентные при константах — решение игры и — множество всех исходов, имеющих форму

где . Тогда А есть решение игры .

Это следует из теорем 16.10 и 16.9.

Следствие 16.12. Если всякая игра в приведенной форме имеет решение, то всякая соответствующая ей произвольная игра имеет решение.

Это следует из теоремы 15.12 и следствия 16.11.

Замечание 16.13. Итак, чтобы показать, что всякая игра имеет решение, достаточно показать, что всякая игра в приведенной форме имеет решение (причем следствие 16.11 позволит нам даже найти решения произвольных игр, если мы сможем найти решения всех игр в приведенной форме). Кроме того, как мы видели, всегда имеется лишь один исход для несущественной игры в приведенной форме, а именно , и множество, состоящее из этого одного исхода, есть тривиальное решение. Поэтому остается лишь показать, что всякая существенная игра в приведенной форме имеет решение; но эта задача оказывается довольно трудной. Следует заметить, что поскольку существенная игра трех лиц в приведенной форме имеет решение, то отсюда вытекает, что всякая игра трех лиц имеет решение.

Замечание 16.14. Можно подумать, что для того, чтобы считать определение решения удовлетворительным, необходимо, чтобы данная игра имела единственное решение. Однако фон Нейман не согласен с этим взглядом и считает, что данное решение представляет просто принятый обществом стандарт поведения, и, следовательно, может и должно быть много решений, соответствующих многим возможным устойчивым состояниям общества. Его позиция в этом отношении станет нам более ясной после того, как мы найдем способ отыскания всех решений игр трех лиц.