Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИГР В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ1. Общее определение конечных игрВ примерах главы V было очень полезно представлять игры в развернутой форме посредством диаграмм, которые часто оказываются понятней, чем словесные описания. Поэтому с формальной стороны удобно просто отождествлять игры с диаграммами, служащими для их изображения, что мы и будем делать в этой главе, посвященной точному определению игр в развернутой форме и доказательству важной теоремы относительно этих игр. Итак, мы будем рассматривать конечную игру n лиц как систему, состоящую из следующих частей: 1. Дерево Т (в том смысле, как было объяснено в главе V). 2. n действительных функций 3. Набор чисел 4. Каждой точке q разветвления дерева Г, которой, согласно пункту 3, ставится в соответствие число О, соответствует элемент 5. Разбиения точек разветвления на непересекающиеся и полные множества (информационные множества), удовлетворяющие следующим условиям: а) Все точки разветвления, принадлежащие данному информационному множеству, относятся, согласно пункту 3, к одному игроку. б) Все точки разветвления, принадлежащие одному информационному множеству, имеют одинаковое число альтернатив, которые мы будем нумеровать справа налево. в) Если (см. пункт 3) точке разветвления q поставлено в соответствие число 0, то информационное множество, в котором находится г) Если S — партия игры, то есть ломаная линия, идущая от основания дерева к одной из его вершин, и если А — любое информационное множество, то существует самое большее одна точка разветвления, принадлежащая обоим множествам S и А. Из примеров, приведенных в главе V, должно быть ясно, какие функции выполняют различные части этого информационного аппарата и какие причины побудили нас принять четыре вышеуказанных условия для информационных множеств. Впрочем, как легко видеть, условие в) вполне произвольно и принято лишь для определенности. Пользуясь этим общим определением игр, мы можем теперь так определить стратегии: стратегией игрока Рассмотрим игру, диаграмма которой приведена на рис. 23 (на этом рисунке по причинам, изложенным ниже, мы дали обозначения точкам разветвления и конечным точкам). Здесь имеются два информационных множества для
Рис. 23 Стратегией игрока
Если мы говорим, что
то это значит, что если во время игры Если игрок Если выбор является случайным; то вероятность определяется согласно пункту 4 определения игры. Мы обозначаем эти вероятности через Так, предположим, что в игре, изображенной на рис.
а
Обозначим упорядоченную пару
Однако для некоторых целей направление партии после выбора лучше обозначать указанием не числа альтернатив, а вершины, к которым приведет этот выбор. Так, на рис. 23 первая альтернатива для точки Первая альтернатива для точки Символом
мы можем написать
или
и т. д. Вместо того чтобы писать
мы можем написать
или
Применяя это обозначение, мы, конечно, также получим
так как партия, проходящая через Тогда если положить
то ясно, что
Аналогично
Для проверки мы замечаем, что
Используя введенные сейчас вероятности, мы можем теперь в свою очередь найти математические ожидания выигрышей игроков при различных чистых стратегиях. Пусть х — упорядоченное множество стратегий, пусть Тогда математическое ожидание выигрыша игрока
Так, например, предположим, что платежная функция
Тогда для упорядоченного множества стратегий а, рассмотренного выше, мы имеем
Мы показали в общем виде, что. задача решения произвольной конечной игры сводится к задаче решения игры в прямоугольной форме. Мы находим эту нормализованную форму исходной игры, перечислив все возможные стратегии игроков и вычислив затем значения функций Мы имеем теперь платежные функции двух видов: 1) функции Для того чтобы различить эти два вида платежных функций, мы будем называть первые платежными функциями партии, а вторые — платежными функциями стратегии. Однако обычно будет видно из контекста, какой вид платежных функций мы имеем в виду, так что мы будем опускать обозначения «партии» и «стратегии». Следует заметить, что правильное определение игры с нулевой суммой — это определение посредством платежных функций стратегии, а не платежных функций партии. Игра называется игрой с нулевой суммой, если для всякого
где
|
1 |
Оглавление
|