Упражнения

1. Как вы считаете, экономика Робинзона Крузо приближается больше к британской экономике 1900 года или 1952 года? Почему?

2. Если А — множество действительных чисел, то нижней границей множества А мы называем число у такое, что для любого ; точной нижней границей (или нижней гранью) множества А мы называем такую нижнюю границу, которая не меньше, чем любая другая нижняя граница. Укажите пример множества, не имеющего нижней границы. Покажите, что никакое множество действительных чисел не может иметь больше одной точной нижней границы.

3. Определите верхнюю границу и точную верхнюю границу множества действительных чисел, аналогичные нижним границам и точным нижним границам, и докажите утверждения, аналогичные утверждениям упражнения 2.

4. Если — действительная функция, определенная на множестве А, то

обозначает точную нижнюю границу множества В всех значений функции , т. е. множества В всех чисел у таких, что для каждого

Аналогично, через

мы обозначаем точную верхнюю границу множества В всех значений функции . Докажите, что если указанные границы существуют, то

и

5. Покажите, что при существовании указанных границ справедливы неравенства:

и

6. Покажите, что знаки в упражнении 5 нельзя заменить знаками .

7. Максимумом множества А действительных чисел мы называем элемент множества А, который является верхней границей множества А. Покажите, что максимум множества, если он вообще существует, единственен и является точной верхней границей множества. Покажите, что множество действительных чисел может иметь точную верхнюю границу и не иметь максимума.

8. Определите минимум множества действительных чисел аналогично определению максимума в упражнении 7 и докажите утверждения аналогичные утверждениям упражнения 7.

9. Если действительная функция, определенная на множестве А, то

обозначает максимум множества В всех значений функции для .

Аналогично,

есть минимум множества всех значений функции для . Покажите, что если указанные максимумы и минимумы существуют, то

и

10. Покажите, что если действительные функции, определенные для , и если максимумы и минимумы для них существуют, то

и

11. Покажите, что если - действительная функция двух переменных, определенная для , и если указанные максимумы и минимумы существуют, то

и

12. Докажите следующее предложение: если — действительная функция двух действительных переменных, определенная для и , и если

и

существуют оба, то

13. Найдите седловые точки следующих матриц;

14. Найдите для следующей матрицы

15. Покажите, что если — седлоьые точки действительной функции, то такими же точками будут . Что это значит в применении к матрицам?

16. Найдите для платежной матрицы двухпальцевой Морра.

17. В трехпальцевой Морра игрок показывает один, два или три пальца и одновременно пытается угадать число пальцев, показанных его противником. Остальные правила такие же, как в двухпальцевой Морра. Найдите платежную матрицу и покажите, что игра не имеет седловой точки.

18. Два игрока имеют по n долларов и предмет ценою с > 0. Каждый игрок делает заявку в запечатанном конверте, предлагая i долларов (где i — одно из целых чисел от 0 до n) за предмет. Предложивший большую сумму получает предмет и платит другому предложенную им сумму. Если оба игрока предлагают одну и ту же сумму, то предмет назначается без компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого в предмете в этом случае составляет 1/2 с. Напишите платежную матрицу и определите, имеет ли она седловую точку.