2. Графическое представление

Иногда хорошо помогает графическое изображение игры. Ее можно представить посредством так называемого «дерева», то есть плоской фигуры, состоящей из узлов и конечного числа направленных вверх прямолинейных отрезков. Каждый узел соединяется только с одним узлом на нижнем уровне, а на самом низшем уровне имеется всего один узел (термин «дерево» применяется в топологии в несколько более общем смысле). Узлы изображают ходы; с ними мы связываем символы, указывающие, какой игрок делает соответствующий ход.

Рис. 8.

Так, только что рассмотренная игра изображена на рис. 8. Около нижнего узла стоит символ , который указывает, что первый ход делает игрок два узла на втором уровне изображают второй ход, который делает игрок ; четыре узла на третьем уровне изображают третий ход, который делает и т. д.

Рис. 9.

Два отрезка, идущие вверх из нижнего узла, изображают два выбора, имеющиеся у игрока на первом ходу; они соответствуют 1 и 2, если идти против часовой стрелки; таким образом, прямая с положительным наклоном означает, что игрок выбирает 1, а прямая с отрицательным наклоном означает, что игрок выбирает 2. Если у на первом ходу три альтернативы, игра изображалась бы как на рис. 9.

Рис. 10.

В этом графическом представлении вся партия игры изображается ломаной, идущей от нижнего узла к одному из верхних. Поскольку число таких путей равно числу верхних узлов, мы видим, что в игре, изображенной на рис. 8, восемь возможных партий, а в игре, изображенной на рис. 9, двенадцать.

При изучении таких диаграмм обычно удобнее писать не а просто «1» и «2». Таким образом вместо рис. 9 мы получаем рис. 10.

Игра, разобранная в примере 5.1, есть так называемая игра с «полной информацией», то есть игра, в которой каждый игрок всегда осведомлен о всей предшествующей истории игры. То, что матрица стратегий для этой игры оказалась имеющей седловую точку, не есть простая случайность; в главе VI мы покажем, что всякая игра с полной информацией обладает этим свойством.