Упражнения

1. Приведите пример функции, строго выпуклой в интервале , но не имеющей производной в точках .

2. Приведите пример функции двух переменных такой, что f(x, у) вогнута по для любого у и вогнута по у для любого , но не является вогнутой одновременно по совокупности х и у.

3. Покажите, что если функция непрерывна и строго вогнута в замкнутом интервале, то имеется одна и только одна точка интервала, в которой функция принимает свое максимальное значение.

4. Покажите, что сумма двух выпуклых функций выпукла, а произведение двух выпуклых функций не обязательно выпукло.

5. Платежная функция непрерывной игры есть

Найдите цену игры и оптимальные стратегии для обоих игроков.

6. Решите уравнение 5 главы XI способами, изложенными в настоящей главе.

7. Платежная функция непрерывной игры есть

Найдите цену игры и оптимальные стратегии для обоих игроков.

8. Платежная функция непрерывной игры есть

где А — число, удовлетворяющее неравенствам

Найдите цену игры и оптимальные стратегии для обоих игроков (конечно, некоторые ответы могут быть выражены через параметр А).

9. Докажите следующую теорему:

Пусть непрерывны на единичном квадрате и

для любого n и для всех точек из единичного квадрата.

Пусть для любого — цена непрерывной игры, имеющей платежную функцию — оптимальные стратегии соответственно для первого и второго игрока в этой игре; кроме того,

где F и G - функции распределения. Тогда v есть цена непрерывной игры, у которой платежная функция есть суть оптимальные стратегии соответственно для первого и второго игрока в этой игре.

10. Покажите, что если функция выпукла по у для любого х и если — любое положительное целое число, то функция

строго выпукла по у для любого х.

11. Покажите (используя выводы упражнений 9 и 10), как можно усилить теоремы 12.2 и 12.5, заменив слова «строго выпуклые» словом «выпуклые».

12. Покажите, что функция, выпуклая в открытом интервале, непрерывна, и приведите пример функции, выпуклой в замкнутом интервале, но имеющей разрыв.

13. Покажите, что выпуклая функция имеет обе односторонние производные (не обязательно равные) в любой точке интервала определения, за исключением, быть может, конечного числа точек.

14. Сформулируйте и докажите (исполвяуя выводы упражнения 13) обобщение теоремы 12.5, в котором не предполагается существование производной .

15. В некоторую игру играют следующим образом: первый игрок выбирает точку из замкнутого единичного квадрата, а второй игрок, не зная выбора первого игрока, выбирает точку из того же квадрата. При этом выигрыш первого игрока равен

где функция строго вогнута по для любых и строго выпукла по для любых .

Покажите, что у каждого игрока имеется единственная чистая стратегия.