Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Фиксированные точкиВ разборе предыдущего примера мы молчаливо допускали, что пространство U может содержать фиксированную точку на прямой BD и, кроме того, фиксированную точку на дуге QD. Оказалось, что этого не может быть. Мы докажем сейчас теорему, которая показывает, что если бы на BDQ были две фиксированные точки, из коих одна не на BD, то отсюда вытекало бы, что имеется фиксированная точка внутри пространства U. Теорема 11.9. Для любой разделимой игры множество фиксированных точек пространства U является замкнутым и выпуклым. (Это справедливо также для Доказательство. Мы докажем теорему для пространства U; доказательство для пространства W аналогично. Пусть Пусть точке соответствует функция распределения
и
Тогда Чтобы убедиться в том, что множество фиксированных точек пространства U выпуклое, положим, что Следовательноо теореме 10.21 функция F, определенная равенством
есть оптимальная стратегия для
есть точка пространства U, и она соответствует функции F; итак (снова по теореме 11.6), х есть фиксированная точка, что и требовалось доказать. Методы, которыми мы пользовались до сих пор, применимы к любому представлению разделимой игры. Мы установим сейчас несколько теорем, которые применимы только к разделимым играм, представленным определенным образом, но которые в этом случае часто позволяют найти решение более легким путем, чем применявшиеся раньше методы. Рассмотрим разделимую игру, у которой платежная функция М представлена в такой форме:
причем выполняются следующие условия: 1) функции
отличен от нуля. Всякое представление разделимой функции в форме (27), удовлетворяющее этим двум условиям, мы будем называть каноническим представлением (или канонической формой) функции М. Мы замечаем, что форма (27) не более и не менее обща, чем форма (1), пока мы не накладываем условие 2). Преимущество формы (27) перед формой (1) для наших целей состоит в том, что применение формы (27) часто избавляет нас от необходимости приписывать константам функциональные символы Замечание 11.10. Поскольку, как мы видели в начале главы, всякая разделима функция может быть представлена в виде
где определитель равен 1, очевидно, всякая разделимая функция имеет каноническую форму. Пример 11.11. Пусть М определена уравнением
Если мы положим здесь:
то
Но если мы положим:
то
и
так что это представление каноническое. Если
есть каноническое представление платежной функции разделимой игры, то мы можем представить математическое ожидание для
Поскольку
то система уравнений
имеет единственное решение, как и система уравнений
Мы назовем решение системы уравнений (28) первой критической точкой игры (по отношению к данному представлению), а решение системы (29) второй критической точкой игры (по отношению к данному представлению). Может, конечно, оказаться, что первая критическая точка не лежит в пространстве U; мы знаем лишь то, что она лежит где-то в Теорема 11.12. Пусть дана платежная функция М разделимой игры в канонической форме (27);
Доказательство. По определению критических точек мы имеем:
и
Мы имеем также для любой точки
или из (30)
Поскольку это выражение не зависит от
Аналогично
Следовательно, и
есть цена игры. Замечание 11.13. Нужно искать каноническое представление функции М, которое включало бы возможно меньше функций и Теорема 11.14. Пусть платежная функция М разделимой игры задана в канонической форме (27) и Доказательство. Мы докажем лишь первую часть теоремы; доказательство второй части аналогично. Пусть
Пусть h — действительное число противоположного знака по сравнению с g и достаточно малое, чтобы точка
лежала в W. Мы имеем:
и
Но это значит, что Из теоремы 11.12 и 11.14 непосредственно вытекают такие следствия: Следствие 11.15. Пусть платежная функция разделимой игры задана в канонической форме и первая критическая точка не принадлежит пространству U; тогда всякая фиксированная точка пространства W находится в В (W) (границе пространства W). Аналогично, если вторая критическая точка не принадлежит пространству W, то всякая фиксированная точка пространства U находится в Следствие 11.16. Пусть платежная функция разделимой игры задана в канонической форме, р и q — соответственно первая и вторая критические точки, Замечание 11.17. Мы замечаем, что платежная функция М примера 11.8 может быть представлена в канонической форме, если положить:
так что мы имеем:
Мы находим:
Но при этом выборе значений
|
1 |
Оглавление
|