3. Фиксированные точки

В разборе предыдущего примера мы молчаливо допускали, что пространство U может содержать фиксированную точку на прямой BD и, кроме того, фиксированную точку на дуге QD. Оказалось, что этого не может быть. Мы докажем сейчас теорему, которая показывает, что если бы на BDQ были две фиксированные точки, из коих одна не на BD, то отсюда вытекало бы, что имеется фиксированная точка внутри пространства U.

Теорема 11.9. Для любой разделимой игры множество фиксированных точек пространства U является замкнутым и выпуклым. (Это справедливо также для множества фиксированных точек пространства W.)

Доказательство. Мы докажем теорему для пространства U; доказательство для пространства W аналогично.

Пусть - последовательность фиксированных точек пространства U, Сходящаяся к точке нам надо доказать, что у также фиксированная.

Пусть точке соответствует функция распределения Последовательность функций распределения содержит (по теореме 8.2) подпоследовательность которая сходится к функции распределения F во всякой точке непрерывности функции F. Для упрощения обозначений положим

и

Тогда есть последовательность фиксированных точек пространства U, которая сходится к точке точке соответствует функция распределения , последовательность сходится к F во всякой точке непрерывности функции F. По теореме 9.23 мы заключаем, что точке у соответствует функция распределения . На основании теоремы 11.6 мы видим, что каждая из функций поскольку она соответствует фиксированной точке есть оптимальная стратегия для а по теореме 10.21 отсюда следует, что F есть оптимальная стратегия для Поскольку у соответствует функции F, мы заключаем (также по теореме 11.6), что у есть фиксированная точка, что и требовалось доказать.

Чтобы убедиться в том, что множество фиксированных точек пространства U выпуклое, положим, что — любые фиксированные точки, — соответствующие функции распределения, и — любой элемент множества Тогда по теореме 11.6 каждая есть оптимальная стратегия для .

Следовательноо теореме 10.21 функция F, определенная равенством

есть оптимальная стратегия для Кроме того, по теореме 11.1, точка

есть точка пространства U, и она соответствует функции F; итак (снова по теореме 11.6), х есть фиксированная точка, что и требовалось доказать.

Методы, которыми мы пользовались до сих пор, применимы к любому представлению разделимой игры. Мы установим сейчас несколько теорем, которые применимы только к разделимым играм, представленным определенным образом, но которые в этом случае часто позволяют найти решение более легким путем, чем применявшиеся раньше методы.

Рассмотрим разделимую игру, у которой платежная функция М представлена в такой форме:

причем выполняются следующие условия: 1) функции непрерывны на интервале и 2) определитель

отличен от нуля. Всякое представление разделимой функции в форме (27), удовлетворяющее этим двум условиям, мы будем называть каноническим представлением (или канонической формой) функции М.

Мы замечаем, что форма (27) не более и не менее обща, чем форма (1), пока мы не накладываем условие 2).

Преимущество формы (27) перед формой (1) для наших целей состоит в том, что применение формы (27) часто избавляет нас от необходимости приписывать константам функциональные символы и тем самым позволяет уменьшить размерность пространств, содержащих множества U и W.

Замечание 11.10. Поскольку, как мы видели в начале главы, всякая разделима функция может быть представлена в виде

где определитель равен 1, очевидно, всякая разделимая функция имеет каноническую форму.

Пример 11.11. Пусть М определена уравнением

Если мы положим здесь:

то

Но если мы положим:

то

и

так что это представление каноническое.

Если

есть каноническое представление платежной функции разделимой игры, то мы можем представить математическое ожидание для следующим образом:

Поскольку

то система уравнений

имеет единственное решение, как и система уравнений

Мы назовем решение системы уравнений (28) первой критической точкой игры (по отношению к данному представлению), а решение системы (29) второй критической точкой игры (по отношению к данному представлению).

Может, конечно, оказаться, что первая критическая точка не лежит в пространстве U; мы знаем лишь то, что она лежит где-то в -мерном пространстве, a U не обязательно должно включать все -мерное пространство. Точно так же вторая критическая точка не обязательно лежит в пространстве W.

Теорема 11.12. Пусть дана платежная функция М разделимой игры в канонической форме (27); первая и вторая критические точки, и W. Тогда р и q суть фиксированные точки, и цена игры равна

Доказательство. По определению критических точек мы имеем:

и

Мы имеем также для любой точки пространства W

или из (30)

Поскольку это выражение не зависит от , отсюда следует, что

Аналогично

Следовательно, и , так что р и q суть фиксированные точки, и

есть цена игры.

Замечание 11.13. Нужно искать каноническое представление функции М, которое включало бы возможно меньше функций и , так как если мы применяем больше функций чем это необходимо, то следующая теорема становится бессмысленной. Если М выражено в форме (27), то U и W суть подмножества -мерного евклидова пространства; а если, например, функции линейно зависимы, то U будет лежать в гиперплоскости -мерного евклидова пространства, и, следовательно, его внутренняя часть будет пустой, так что предположение второй части теоремы не будет выполняться.

Теорема 11.14. Пусть платежная функция М разделимой игры задана в канонической форме (27) и (внутренность пространства W) содержит фиксированную точку; тогда первая критическая точка принадлежит пространству U, и это единственная фиксированная точка пространства U. (Аналогично, если содержит фиксированную точку, то вторая критическая точка принадлежит пространству W, и это единственная фиксированная точка пространства W.)

Доказательство. Мы докажем лишь первую часть теоремы; доказательство второй части аналогично.

Пусть — фиксированная точка пространства W, лежащая в — некоторая фиксированная точка пространства U и — первая критическая точка; мы хотим показать, что . Предположим, что . Поскольку р есть единственное решение уравнения (28), мы имеем для некоторого

Пусть h — действительное число противоположного знака по сравнению с g и достаточно малое, чтобы точка

лежала в W.

Мы имеем:

и

Но это значит, что , а по теореме 11.7 это противоречит нашему допущению, что z и t суть фиксированные точки.

Из теоремы 11.12 и 11.14 непосредственно вытекают такие следствия:

Следствие 11.15. Пусть платежная функция разделимой игры задана в канонической форме и первая критическая точка не принадлежит пространству U; тогда всякая фиксированная точка пространства W находится в В (W) (границе пространства W). Аналогично, если вторая критическая точка не принадлежит пространству W, то всякая фиксированная точка пространства U находится в .

Следствие 11.16. Пусть платежная функция разделимой игры задана в канонической форме, р и q — соответственно первая и вторая критические точки, тогда р есть единственная фиксированная точка пространства U, а — единственная фиксированная точка пространства .

Замечание 11.17. Мы замечаем, что платежная функция М примера 11.8 может быть представлена в канонической форме, если положить:

так что мы имеем:

Мы находим:

Но при этом выборе значений мы видим, что первая критическая точка не принадлежит пространству U, а вторая не принадлежит пространству W; поэтому предложения 11.12, 11.14, 11.15 и 11.16 говорят лишь о том, что фиксированные точки должны принадлежать границам пространств U и W. Но , поскольку линейно зависимы; и аналогично . Поэтому предложения 11.12, 11.14, 11.15 и 11.16 в действительности ничего нам не говорят.