3. Определение прямоугольных игр

Игра одного лица с нулевой суммой не представляет особенных затруднений, ибо, независимо от того, что делает этот единственный игрок, он получает нуль и может с одинаковым успехом выбирать любой ход. При игре одного лица с ненулевой суммой игроку нужно решить обычную задачу на максимум: он должен выбрать из различных открывающихся ему возможностей ту, которая дает ему максимальный выигрыш, или, если игра включает также некоторые случайные ходы, ту, которая дает максимум математического ожидания его выигрыша. Таким образом, чтобы изучить характерные свойства стратегических игр, необходимо перейти к играм с участием больше чем одного игрока.

Мы начнем с изучения игры двух лиц с нулевой суммой, в которой каждый игрок имеет лишь один ход. Первый игрок выбирает число из первых m положительных целых чисел, а второй игрок, не будучи информирован о том, какой выбор сделал первый игрок, выбирает число из первых n положительных чисел.

Затем эти два числа сравниваются, и один из игроков платит другому сумму, которая зависит от сделанных выборов и определяется правилами игры. Чтобы иметь какое-нибудь обозначение для таких игр, мы будем называть их прямоугольными играми. (Позднее мы увидим, что прямоугольные игры не составляют обособленного класса игр, как может показаться с первого взгляда: множество других весьма разнообразных игр можно привести к форме прямоугольных игр.)

Приведем пример прямоугольной игры. Игрок выбирает число из множества {1,2,3} а игрок выбирает число из множества {1,2,3,4} не будучи информирован о том, какой выбор сделал После того как выборы были сделаны, игрок платит игроку сумму, определяемую следующей таблицей:

Иначе говоря, если например, выбирает 1, а выбирает 3, то игрок платит игроку десять долларов (или десять центов, или десять любых других денежных единиц). Если выбирает 3, а выбирает 2, то игрок платит игроку минус пять долларов, т. е. игрок платит игроку пять долларов. Мы будем описывать впредь такую игру, указывая просто ее платежную матрицу

Другой пример прямоугольной игры — «two-finger Morra» (двухпальцевая Морра), в которую играли в Италии с античных времен. В эту игру играют два человека: каждый из них показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которые, по его мнению, покажет его противник. Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником; в противном случае — ничья. Если символ || 1 2 || означает, что игрок показывает один палец и предполагает, что его противник показывает два пальца, то платежная матрица для этой игры будет иметь вид

Важнейшим вопросом в случае прямоугольной, да и вообще любой игры является вопрос о том, имеется ли оптимальный способ игры, то есть можно ли доказать, что данный способ игры является наиболее рациональным.

Оказывается, что в случае первого примера на этот вопрос очень легко ответить. Действительно, мы замечаем, что каждый элемент первой строки больше соответствующего элемента второй строки и также больше соответствующего элемента третьей строки. Следовательно, независимо от того, какое число выбирает для лучше выбрать 1, чем 2 или 3, так что оптимальный способ игры для — это выбрать 1. Точно так же каждый элемент второго столбца меньше соответствующего элемента каждого из других столбцов; поэтому поскольку хочет играть таким образом, чтобы платеж был возможно меньшим, оптимальный способ игры для — выбрать 2.

Этот вывод основан на специфическом свойстве платежной матрицы, т. е. на том, что каждый элемент данной строки (или столбца) больше соответствующего элемента другой строки (или столбца).

Для того чтобы дать анализ прямоугольных игр, которой можно былр бы применить для более широкого класса игр, мы должны будем ввести некоторые новые понятия.