Упражнения

1. Найдите функцию распределения, соответствующую следующему случайному процессу выбора числа из [0, 1]: 1) бросаются две монеты; 2) если обе монеты показывают герб, выбирается число ; 3) если обе монеты показывают решку, то число из интервала [0, 1] выбирается посредством прибора, изображенного на рис. 33; 4) если одна монета показывает герб, а другая — решку, то число из интервала [0, 1] выбирается посредством прибора, изображенного на рис. 34.

2. Найдите функцию распределения для следующего случайного процесса: бросается игральная кость и берется число, обратное тому, которое показывает кость.

3. Покажите, что если функция непрерывна справа и непрерывна слева в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

4. Покажите, что способом, установленным в теореме 8.3, из элементов класса можно построить любой элемент класса для любого n.

5. Докажите следующее обобщение теоремы 8.3: пусть — бесконечная последовательность функций распределения, — бесконечная последовательность неотрицательных действительных чисел, таких, что

и функция F определена так:

тогда F есть также функция распределения.

6. Покажите, что множество разрывов функции распределения не может быть более чем счетным.

7. Покажите, что если , то

8. Покажите, что произведение двух функций распределения есть также функция распределения, то есть если , то и , где

9. Покажите, что произведение двух ступенчатых функций есть ступенчатая функция. Покажите, что если и то существует число t, такое, что .