Упражнения
1. Найдите функцию распределения, соответствующую следующему случайному процессу выбора числа из [0, 1]: 1) бросаются две монеты; 2) если обе монеты показывают герб, выбирается число
; 3) если обе монеты показывают решку, то число из интервала [0, 1] выбирается посредством прибора, изображенного на рис. 33; 4) если одна монета показывает герб, а другая — решку, то число из интервала [0, 1] выбирается посредством прибора, изображенного на рис. 34.
2. Найдите функцию распределения для следующего случайного процесса: бросается игральная кость и берется число, обратное тому, которое показывает кость.
3. Покажите, что если функция непрерывна справа и непрерывна слева в данной точке, то она непрерывна в этой точке.
4. Покажите, что способом, установленным в теореме 8.3, из элементов класса
можно построить любой элемент класса для любого n.
5. Докажите следующее обобщение теоремы 8.3: пусть
— бесконечная последовательность функций распределения,
— бесконечная последовательность неотрицательных действительных чисел, таких, что
и функция F определена так:
тогда F есть также функция распределения.
6. Покажите, что множество разрывов функции распределения не может быть более чем счетным.
7. Покажите, что если
, то
8. Покажите, что произведение двух функций распределения есть также функция распределения, то есть если
, то и
, где
9. Покажите, что произведение двух ступенчатых функций есть ступенчатая функция. Покажите, что если и
то существует число t, такое, что
.