Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Основная теоремаТеорема 10.4. Если М есть непрерывная функция двух переменных в замкнутом единичном квадрате, то величины
и
существуют, и равны между собой. Доказательство, Поскольку
непрерывная функция от
существует и
Обозначив через
Поскольку
Поскольку это неравенство справедливо для любого G и правая часть не содержит G, мы заключаем, что
имеет нижнюю границу и, следовательно, нижнюю грань. Положим
Из определения нижней грани следует, что существует последовательность
В соответствии с теоремой 8.2 мы вправе предположить, что последовательность Пусть
По теореме 9.23 мы имеем:
Поскольку для каждого n
мы видим, что
Из (5), (6) и (7) мы получаем:
На основании теоремы 9.22 мы заключаем из неравенства (8), что
и, следовательно, на основании равенств (3) и (4)
С другой стороны, из определения нижней грани следует, что
откуда получим:
Равенство (12) означает, что нижняя грань выражения
достигается при
Доказательство существования величины
аналогично. Остается показать, что
Отсюда мы заключаем: для всякого G из D существует в [0, 1] такое, что
Пусть теперь Если
Очевидно, для любого
Итак, для всякого х из [0, 1] существует
Из (16) и (15) мы заключаем, что
Оценивая левую часть выражения (17) с помощью теоремы 9.20, мы заключаем, что существует
Итак, мы показали следующее: для всякого положительного е существует такое
Для фиксированного
с n неизвестными
Определим теперь ступенчатую функцию
Тогда из теоремы 9.20 мы видим, что для всех y
В частности, мы имеем:
Умножая
Поскольку (21) справедливо для всех элементов
Из непрерывности функции М вытекает, что для всякого у существует некоторое
Из неравенств (22) и (23) заключаем, что для всякого
Применяя теорему 9.15 к неравенству (24), мы видим, что для всякой функции распределения
и, следовательно,
Из (14), (25) и определения максимума мы получаем теперь, что
Поскольку неравенство
имеет место для всех положительных
С другой стороны, на основании (13), (14) и теоремы 1.1, мы имеем:
откуда
что и требовалось доказать.
|
1 |
Оглавление
|