3. Основная теорема

Теорема 10.4. Если М есть непрерывная функция двух переменных в замкнутом единичном квадрате, то величины

и

существуют, и равны между собой.

Доказательство, Поскольку непрерывна по , мы заключаем, что для любой функции распределения G

непрерывная функция от в замкнутом интервале [0, 1]. Поэтому на основании теоремы 9.22

существует и

Обозначив через значение х, при котором интеграл в правой части равенства имеет максимальную величину, получим:

Поскольку , то из (1) и (2), на основании теоремы 9.15, следует, что

Поскольку это неравенство справедливо для любого G и правая часть не содержит G, мы заключаем, что

имеет нижнюю границу и, следовательно, нижнюю грань. Положим

Из определения нижней грани следует, что существует последовательность функций распределения такая, что

В соответствии с теоремой 8.2 мы вправе предположить, что последовательность выбрана так, что она сходится к функции распределения во всех точках непрерывности функции .

Пусть — значение х такое, что

По теореме 9.23 мы имеем:

Поскольку для каждого n

мы видим, что

Из (5), (6) и (7) мы получаем:

На основании теоремы 9.22 мы заключаем из неравенства (8), что

и, следовательно, на основании равенств (3) и (4)

С другой стороны, из определения нижней грани следует, что

откуда получим:

Равенство (12) означает, что нижняя грань выражения

достигается при , и следовательно, это выражение имеет минимум. Поэтому мы можем написать:

Доказательство существования величины

аналогично.

Остается показать, что . Если G есть любой элемент множества D, то из (1) и (2) мы видим, что число удовлетворяет следующему условию:

Отсюда мы заключаем: для всякого G из D существует в [0, 1] такое, что

Пусть теперь — любое положительное число. Из непрерывности функции М мы видим, что существует такое , что, когда имеем: .

Если есть любой элемент множества то пусть есть ступенчатая функция, определенная следующим образом:

Очевидно, для любого из [0, 1] существует такое, что следовательно, ввиду непрерывности функции М такое, что

Итак, для всякого х из [0, 1] существует такое, что

Из (16) и (15) мы заключаем, что

Оценивая левую часть выражения (17) с помощью теоремы 9.20, мы заключаем, что существует такое, что

Итак, мы показали следующее: для всякого положительного е существует такое , что для всякого элемента множества существует такое i, что

Для фиксированного величины и т. д. постоянны. Таким образом, мы имеем n линейных форм

с n неизвестными ; неравенство (18) означает, что эти формы удовлетворяют условию леммы 10.2. Следовательно, на основании леммы 10.2 мы заключаем: для всякого положительного существует число и элемент множества такие, что для всякого элемента множества

    (19)

Определим теперь ступенчатую функцию положив

Тогда из теоремы 9.20 мы видим, что для всех y

В частности, мы имеем:

Умножая уравнение в (20) на и складывая, мы получаем на основании (19):

Поскольку (21) справедливо для всех элементов из мы можем, в частности, взять при отсюда мы заключаем, что

Из непрерывности функции М вытекает, что для всякого у существует некоторое такое, что

Из неравенств (22) и (23) заключаем, что для всякого

Применяя теорему 9.15 к неравенству (24), мы видим, что для всякой функции распределения

и, следовательно,

Из (14), (25) и определения максимума мы получаем теперь, что

Поскольку неравенство

имеет место для всех положительных , мы заключаем, что

С другой стороны, на основании (13), (14) и теоремы 1.1, мы имеем:

откуда

что и требовалось доказать.