5. Решение прямоугольной игры как разделимой игры

В этом параграфе мы покажем на примере, что прямоуготную игру можно решать способами, применимыми для разделимых игр. В примере рассматривается матрица , но излагаемый метод можно легко обобщить на произвольные платежные матрицы.

Рассмотрим следующую платежную матрицу:

Смешанная стратегия игрока есть следующий вектор: , где и . Смешанная стратегия игрока есть вектор , где , и . Математическое ожидание выигрыша равно

Во-первых, мы замечаем, что математическое ожидание выигрыша есть билинейная форма координат и и до. Из вышеприведенных неравенств мы видим также, что пространство U есть равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, а пространство W тождественно с пространством Во-вторых, отсюда вытекает, что пространства U и W суть замкнутые ограниченные выпуклые множества. Таким образом, мы имеем такую ситуацию, как если бы у нас была следующая разделимая игра: выбирает точку выбирает точку , а платеж есть билинейная форма . Чтобы решить игру, исследуем фиксированные точки пространств U и W. При отыскании образа каждой точки и уместно положить

В таблице. 1 представлены отображения на W каждой точки и пространства U.

Положим теперь ; для этого случая в таблице 2 представлены отображения на U каждой точки до пространства .

Таблица 1. Образы точек пространства U

Таблица 2. Образы точек пространства W

С помощью этих таблиц мы можем определить, какие точки пространств U и W суть фиксированные и, следовательно, какие точки являются оптимальными стратегиями для и для . Например, мы замечаем, что ни одна точка области их не является фиксированной точкой, ибо , тогда как , и эти точки принадлежат области , а не . Подобно этому мы можем показать, что ни одна точка областей и не является фиксированной.

Рассмотрим теперь область . Для нее мы имеем . Полагаем , тогда

Поскольку то отсюда вытекает, что — фиксированная точка пространства U, а точка , где , есть фиксированная точка пространства W. Другими словами, мы имеем:

где . Легко убедиться, что это единственные фиксированные точки. Следовательно, оптимальные стратегии игры таковы:

Цена игры равна 1.