Упражнения

1. Пусть А — множество всех точек пространства , координаты которых удовлетворяют условиям

Найдите замыкание, внутреннюю часть и границу множества А.

2. Покажите, что всякое выпуклое множество является связным. Дайте пример связного множества, которое не является выпуклым.

3. Найдите экстремальное множество множества А, описанного в упражнении 1.

4. Постройте доказательство теоремы 2.3 или найдите его в литературе.

5. Покажите, что теорема 2.3 не будет справедлива, если мы опустим условие, что X есть выпуклое множество.

6. Покажите, что теорема 2.3 не будет справедлива, если мы опустим условие, что X есть замкнутое множество.

7. Докажите теорему 2.3 для (Указание: пусть у есть точка множества X, ближайшая к рассмотрите прямую, проходящую через и перпендикулярную к прямой, соединяющей и .) Затем попробуйте обобщить это доказательство так, чтобы установить справедливость теоремы для произвольного n.

8. Докажите для частного случая, когда граница множества X не содержит прямолинейных отрезков.

9. Найдите цены прямоугольных игр, матрицы которых указаны ниже, и найдите оптимальные стратегии для обоих игроков:

10. Дана прямоугольная игра с матрицей порядка

где

Покажите с помощью теоремы 2.9, что оптимальный способ игры для каждого игрока—выбирать каждое из чисел от 1 до m с одинаковой вероятностью, т. е. играть со смешанной стратегией , и покажите, что

11. Квадратная матрица

называется кососимметрической, если (для и ), так что, в частности, (для ), следовательно, . Покажите, что цена прямоугольной игры с кососимметрической матрицей равна нулю, и если есть стратегическая седловая точка такой игры, то таной же является и точка

12. Докажите теорему 2.10.

13. В примере 2.15 мы нашли, что оптимальная стратегия для равна , то есть всего лучше для него всегда выбирать число 3. Поскольку первые два элемента последпей строки матрицы равны, то может показаться, что является несущественным, какую смешанную стратегию применяет , если он берет . Почему это не так?

14. Дайте пример, показывающий, что выполнение равенств

не есть достаточное условие, чтобы было решением прямоугольной игры.

15. Матрица некоторой прямоугольной игры есть

а матрица второй игры

где — положительная константа. Покажите, что эти две игры имеют одинаковые оптимальные стратегии и что если есть цена первой игры, а - цена второй игры, то

16. Покажите, что утверждение, приведенное в упражнении 15, не будет справедливо, если мы опустим условие, что положительно.

17. Матрица порядка называется латинским квадратом, если каждая строка и каждый столбец ее содержат все целые числа от 1 до , например,

Покажите, что игра , у которой матрица есть латинский квадрат, имеет цену .

18. Покажите, что цена игры является единственной.

19. Покажите, что есть оптимальная стратегия для каждого игрока в трехпальцевой Морра (описанной в упражнении 17 главы I).

20. Найдите, используя понятие превосходства, решение прямоугольной игры, имеющей следующую матрицу:

21. Используйте графический метод, описанный в разделе 5, чтобы найти решение прямоугольной игры, имеющей такую матрицу:

22. Решите графическим методом игру с платежной матрицей.

Сравните рисунок для этой игры с рисунком примера 2.20 (см. замечание 2.21).