3. Стратегии для другого игрока
В приведенном выше примере мы могли определить оптимальную стратегию для первого игрока, но не для второго. Две следующие теоремы позволяют нам определить оптимальные стратегии для обоих игроков.
В этих теоремах символами
мы обозначаем частные производные функции
соответственно по x и у.
Таким образом,
и
Поскольку мы ограничиваемся функциями, определенными на замкнутом единичном квадрате
, то производные
согласно этим определениям, не имели бы смысла. Поэтому под
мы будем подразумевать предел выражения (4), когда z принимает лишь положительные значения, а под
мы будем подразумевать предел этого выражения, когда
принимает лишь отрицательные значения. Аналогично определяются
.
Теорема 12.5. Пусть М — платежная функция непрерывной игры, непрерывная по двум переменным;
существует для любых х и у в единичном квадрате и
строго выпукла по у для любого
. Пусть
— единственная оптимальная стратегия для второго игрока, и v — цена игры. Если
или
первого игрока имеется оптимальная стратегия
где константой
может быть любое число, удовлетворяющее условиям:
Если
, то у первого игрока имеется оптимальная стратегия следующего вида:
в качестве
можно взять любые числа, удовлетворяющие условиям:
Доказательство. Допустим сначала, что
. Поскольку
есть оптимальная стратегия для второго игрока, мы видим по теореме 10.6, что для всех х
и, следовательно, для всех х
далее, поскольку по теореме 12.2
то существует
такое, что
Предположим теперь, что всякое число
, удовлетворяющее равенству (7), является таким, что
Тогда для всякого
, существует положительное
такое, что
Для каждого х мы определяем
как верхнюю грань всех чисел
, удовлетворяющих неравенству (7). Из непрерывности функции М следует непрерывность функции
по
в замкнутом интервале [0, 1]; кроме того,
всегда положительна и, следовательно, имеет положительный минимум.
Пусть
— мицимальное значение
. Если мы выберем
так, что
, то
и, следовательно, по теореме 12.2
Мы пришли к противоречию. Следовательно, существует число
, которое удовлетворяет равенству (7), и, кроме того,
Пусть теперь
— любое число из интервала [0, 1], удовлетворяющее условиям (7) и (9); покажем, что
есть оптимальная стратегия для первого игрока. Но поскольку
— выпуклая функция от
то из (7) и (9) вытекает, что v есть минимум функции
, так что для всякого у
и, следовательно, по теореме 10.6,
есть оптимальная стратегия для первого игрока, что и требовалось доказать. Этим завершается доказательства для случая
.
Доказательство для случая
аналогично. Допустим теперь, что
. Как и в случае
, мы видим, что для всех х
и для некоторого х
Если бы любое х, удовлетворяющее условию (11), было таким, что
то мы пришли бы к противоречию, как и в случае
.
Итак, имеется число х, которое удовлетворяет условию (11), и, кроме того,
то есть имеется число
такое, что
Аналогично мы убеждаемся в том, что имеется число
такое, что
Рассмотрим теперь функцию
Мы замечаем, что
и
Поскольку функция
непрерывна, мы заключаем, что существует а, удовлетворяющее соотношениям
Для завершения доказательства теоремы нам нужно лишь показать, что если
и
— любые числа, удовлетворяющие условиям (13), (14) и (15), то функция распределения
есть оптимальная стратегия для первого игрока. Из того, что функция
непрерывна по у для любого х, мы заключаем, что функция
выпукла по у. Кроме того, из уравнения (15) мы видим, что производная функции
равна нулю при
. Следовательно,
принимает минимальное значение в точке
. Итак, поскольку на основании (13) и (14) мы имеем:
то мы видим, что v есть минимальное значение функции
, то есть для всех у:
или
Теперь теорема вытекает из теоремы 10.6.
Так же можно доказать следующую теорему, аналогичную только что доказанной.
Теорема 12.6. Пусть М — платежная функция непрерывной игры, непрерывная по двум переменным;
существует для любого
и любого у в единичном квадрате;
строго вогнута по
для любого у; I — единственная оптимальная стратегия для первого игрока, и v — цена игры. Если
или
, то имеется оптимальная стратегия
для второго игрока, в качестве константы
можно взять любое число, удовлетворяющее условиям:
Если
, то имеется оптимальная стратегия для второго игрока, имеющая следующий вид:
причем в качестве констант
можно взять любые числа, удовлетворяющие условиям