2. Игры, проводимые на пространстве функций

Разбирая в главе VII бесконечные игры, мы очень быстро перешли к частному случаю непрерывной игры, в которой каждый игрок выбирает число из замкнутого единичного интервала, а все исследование в следующих главах ограничивалось этим случаем и его тривиальными модификациями.

Но поскольку непрерывные (бесконечные) игры аналогичны прямоугольным (конечным) играм, можно подумать, что введением стратегий мы могли бы привести всякую бесконечную игру к непрерывной, как и всякую конечную игру введением стратегий можно привести к прямоугольной игре. Однако, к сожалению, это не всегда так, ибо вполне возможно, что, например, число стратегий окажется так велико, что их даже нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с действительными числами замкнутого единичного интервала.

Так, например, предположим, что игра имеет четыре хода:

Ход I. выбирает действительное число .

Ход II. зная значение выбирает действительное число

Ход III. зная но забыв выбирает действительное число

Ход IV. зная но забыв выбирает действительное число

Платеж при этом есть некоторая функция четырех переменных ул и Чистая стратегия игрока есть упорядоченная пара где а — действительное число, а — функция одного действительного переменного чистая стратегия игрока есть упорядоченная пара — функция одного действительного переменного — функция двух действительных переменных

Поскольку функций действительного переменного больше, чем действительных чисел (в самом, деле, если с — число действительных чисел, то имеется функций действительного переменного), очевидно, ни стратегии игрока ни стратегии игрока нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с точками замкнутого единичного интервала, и, следовательно, эту игру нельзя свести к непрерывной.

В действительности легко описать игры, в которых каждый игрок имеет лишь один ход и ни один из игроков не знает о выборе другого, но которые не эквивалентны непрерывным играм. Чтобы облегчить описание простой игры подобного рода, обозначим через F множество всех функций определенных на замкнутом единичном интервале, таких, что и интеграл существует. Игра состоит теперь в следующем: выбирает элемент множества F, а не зная, какой выбор сделал выбирает элемент g множества F; затем игрок платит игроку сумму

Поскольку, как известно, F содержит больше элементов, чем имеется действительных чисел, мы опять видим, что эту игру нельзя привести к непрерывной, изменив обозначения элементов множества F.

Очевидно, платежная функция игры только что описанного вида не обязательно имеет седловую точку, и поэтому естественно предположить, что игроки применят смешанные стратегии. В данном случае смешанная стратегия есть функция распределения на множестве F или, как иногда говорят, функция распределения на пространстве функццй. Но теперь возникает вопрос: какому классу А подмножеств множества F приписывать функции распределения?

Легко показать, что мы не можем получить интуитивно приемлемых выводов, если предположим, что А есть класс всех подмножеств множества F; а, с другой стороны, раз мы начали исключать подмножества из F, неясно, где нужно остановиться. Очевидно, этот вопрос связан с вопросом о том, как мы определим математическое ожидание для , если применяет функцию распределения , а применяет функцию распределения G на F.

Для сравнения можно заметить, что наше определение функции распределения на единичном интервале (в главе VIII) сводится к предположению, что вероятность определена на всяком множестве, измеримом по Лебегу. Но не очевидно, имеется ли столь же естественный класс подмножеств пространства функций.

Эта задача в том виде, как она описана, является почти полностью принципиальной. Задача отыскания интуитивно удовлетворительного способа введения функций распределения на пространстве функций оказывается чрезвычайно трудной, и вполне возможно, что ее решение не будет найдено. В этом случае еще останется техническая задача выбора некоторого большого подкласса игр на пространстве функций, которые можно было бы решать, не прибегая к понятию функции распределения; приемлемым кандидатом, допускающим такую трактовку, представляется класс игр на пространстве функций, состоящий из игр, выпуклых для игрока, стремящегося к минимальному платежу (определение выпуклых функций, данное в главе XII, можно легко обобщить на функции, у которых аргументы суть функции).