ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Интуитивные соображения

Напомним, что для отыскания оптимальных способов игры в прямоугольные игры без седловых точек оказалось необходимым рассматривать смешанные стратегии, то есть способы, позволяющие делать выборы наудачу и лишь с известными вероятностями. Очевидно, нечто аналогичное нужно сделать для непрерывных игр без седловых точек (примеры таких игр были даны в упражнениях 9 и 10 гдавы VII).

Рис. 33.

Прежде всего нужно исключить ошибочное представление о том, что смешанная стратегия непрерывной игры есгь цросто правило, приписывающее некоторую вероятность каждому числу, лежащему в замкнутом интервале [0, 1], ибо может случиться, что при случайном способе выбора каждому числу в интервале приписывается вероятность 0 и даже два случайных способа могут быть различны, хотя оба они приписывают каждому отдельному числу вероятность 0.

Так, предположим, что мы наносим числа , по окружности единичной длины (рис. 33), крутим стрелку и выбираем число, соответствующее тому месту, где остановилась стрелка.

Если допустить, что ось стрелки хорошо смазана и весь прибор сделан достаточно хорошо, то вероятность (в смысле относительной частоты) того, что стрелка остановится в некотором интервале, равна просто длине интервала; например, вероятность того, что она остановится в интервале равна 1/4. Вообще, вероятность того, что выбранное число попадет в интервал равна . Так как вероятность того, что стрелка остановится на , конечно, не больше, чем вероятность того, что она остановится в интервале , то для всех положительных , и, следовательно, .

Рис. 34.

Поскольку это доказательство не основано на каком-нибудь особом свойстве точки у, мы имеем случайный способ выбора числа из интервала [0, 1], при котором каждому отдельному числу в интервале приписывается вероятность 0.

Допустим теперь, что устройство слегка изменили, нанеся числа от 0 до на первой четверти окружности, а числа от 1/2 до 1 — на остальных трех четвертях, как показано на рис. 34. Ясно, что вероятность выбора какого-либо отдельного числа опять равна 0. И тем не менее этот способ выбора числа из интервала [0, 1] отличается от первого, ибо в первом способе вероятность получить число, лежащее между 0 и 1/2, была равна 1/2, а теперь она равна .

Размышляя над этими примерами, мы убеждаемся, что для формального математического описания случайного процесса выбора числа из интервала достаточно задать функцию F, такую, что для всех а из [0, 1] есть вероятность того, что выбранное число будет не больше а. Однако для удобства математических выводов в излагаемой ниже теории оказывается лучше несколько изменить это определение для случая, когда Поэтому мы рассматриваем функции F, такие, что для а, есть вероятность того, что выбранное число будет не больше и (следовательно, есть вероятность того, что выбранное число будет меньше нуля, а не того, что оно будет не больше нуля).

Рис. 35.

Если а и b суть два числа из интервала [0, 1], такие, что то, очевидно, есть вероятность того, что число х будет выбрано в интервале есть вероятность того, что число х будет выбрано в интервале . Такая функция F называется интегральной функцией распределения или, для краткости, просто функцией распределения.

Функция распределения для первого из приведенных выше примеров есть такая функция F, что для всех х в [0, 1]

На рис. 35 представлен график этой функции (функция, очевидно, определена только для ).

Функция распределения для второго примера есть такая функция F, что

График этой функции представлен на рис. 36.

Мы замечаем, что обе эти функции неубывающие, то есть при (на графике это выражается характером кривых, идущих направо вверх).

Как мы сразу видим, это справедливо для всякой функции распределения, ибо если , то вероятность того, что выбранное число лежит в интервале , должна быть по меньшей мере равна вероятности того, что оно лежит в интервале .

Рис. 36.

Рассмотренные нами две частные функции суть так называемые возрастающие функции, то есть , когда Но это не всегда выполняется для функций распределения. Так, например, функция распределения может иметь такой график, как на рис. 37. Горизонтальный отрезок на этом графике показывает, что

следовательно, вероятность того, что выбранное число будет лежать в интервале равна 0. Легко видеть, как можно построить случайный механизм, который будет порождать такую функцию распределения: нужно лишь изготовить устройство, подобное вышеописанному, но исключить интервал .

Мы замечаем, что все графики проходят через точку Это должно быть для всех функций распределения, то есть для любой функции распределения F мы имеем:

Это вытекает непосредственно из определения функции распределения; действительно, выборы совершаются в интервале и, следовательно, выбранное число, заведомо не будет превышать 1.

Рис. 37.

Кроме того, в определении функции распределения указывается, что график функции должен проходить через точку .

Рис. 38.

Все рассмотренные до сих пор функции распределения непрерывны, но это относится не ко всем функциям распределения. Простейший образец разрывной функции распределения можно получить посредством «случайного» механизма, который всегда выбирает 0. Функция распределения удовлетворяет тогда следующим условиям:

а график ее показан на рис. 38. Приведем менее тривиальный пример. Мы бросаем правильную монету. Если она показывает герб, мы выбираем 1/4; если она показывает решку, то применяем устройство, изображенное на рис. 33, для выбора числа из интервала [0, 1]. Тогда, очевидно, функция распределения F удовлетворяет следующим условиям:

График этой функции представлен на рис. 39 (жирная точка в левом конце верхнего отрезка указывает, что а не )

График, изображенный на рис. 39, имеет скачок при , то есть в точке, которой функция распределения приписывает конечную (не нулевую) вероятность. Легко видеть, что точки, которым приписывается конечная вероятность, всегда соответствуют точкам разрыва графика функции распределения.

Рис. 39.

Все рассмотренные до сих пор функции распределения имели графики, состоящие либо из прямолинейного отрезка, либо из ряда таких отрезков. Но из следующего примера можно видеть, что это не всегда так. Допустим, что в устройстве, изображенном на рис. 33, кончик стрелки сделан из стали и в плоскости круга помещен небольшой магнит справа от точки с отметкой «1/2». Тогда стрелка будет чаще останавливаться вблизи от , чем в других местах (но вероятность остановки в одной данной точке по-прежнему равна 0). При этом, очевидно, функция распределения будет иметь криволинейный график, подобный изображенному на рис. 40.

Рис. 40.

Рассмотрим, наконец, несколько менее элементарное свойство функций распределения. Для этого введем одно определение. Функция F называется непрерывной справа в точке х, если

Аналогично мы называем функцию непрерывной слева в точке х, если

Мы замечаем, что функция, изображенная на рис. 39, в точке непрерывна справа, но не непрерывна слева. Функция, изображенная на рис. 38, в точке х = 0 не непрерывна справа.

Мы имеем следующую теорему.

Теорема 8.1. Всякая функция распределения непрерывна справа во всех точках открытого интервала (0, 1).

Доказательство. Пусть F — функция распределения, и пусть . Мы хотим показать, что

Величина

по определению функции распределения равна вероятности того, что число z, выбранное согласно этой функции распределения, удовлетворяет неравенству

Но для любого заданного z можно найти такое малое положительное , чтобы это неравенство стало невозможным. Следовательно, вероятность того, что z будет удовлетворять этому неравенству, стремится к нулю, когда стремится к нулю, что завершает доказательство.