4. Случайные ходы

Рассмотрим игры, в которых есть случайные ходы, то есть некоторые выборы производятся случайными механизмами, а не самими игроками. Случайные ходы имеются во многих обычных салонных играх, например в большинстве карточных игр карты сдаются случайно.

Случайные ходы могут входить в игру тремя способами: 1) изменяя платеж, 2) изменяя размер и природу множеств, из которых игроки могут делать выборы, и 3) определяя порядок, в котором игроки будут делать ходы. Мы рассмотрим примеры, поясняющие эти три варианта, и в каждом случае покажем, как описывать стратегии, чтобы привести игру к прямоугольной форме.

Пример 5.7. Ход I. Бросается монета.

Ход II, Игрок , не зная, выпала ли монета гербом или решкой, выбирает число х из множества {1, 2}.

Ход III. Игрок , не зная исхода бросания монеты, но зная, какое число х было выбрано на втором ходу, выбирает число у из множества . Герб мы будем изображать единицей, а решку двойкой. Тогда, если выборы за три хода были соответственно игроку уплачивается , где М есть функция, определенная в примере 5.1. (Таким образом, означает, что если монета выпадает гербом, а и оба выбирают 1, то игрок платит игроку 2.)

Рис. 16.

Игра представлена на рис. 16, где у нижнего узла стоит символ «О», который указывает, что этот ход определяется случаем (а не игроками 1 или 2). (Ради общности мы также заключаем этот узел в круг, как если бы это было информационное множество — хотя, конечно, случай ничего не знает.) Стратегия игрока есть функция, указывающая ему выбор 1 или 2, в зависимости от того, какой стороной упала монета. Таким образом, стратегия есть функция (см. пример 5.1), которая отображает множество в себя. Аналогично, стратегия игрока есть функция , указывающая ему, какой сделать выбор в зависимости от выбора на втором ходу.

Предположим, например, что применяет стратегию , а — стратегию . Тогда мы должны различать два случая в зависимости от того, что показывает монета — герб или решку.

Если герб (то есть «1» ), то стратегия указывает игроку что нужно выбрать 2, а стратегия указывает игроку что нужно также выбрать 2; таким образом, поскольку платеж игроку равен —4. Если же монета выпадет решкой, то выберет 1 и, следовательно, выберет 1; поскольку платеж игроку будет равен 5. Мы предполагаем, что монета «правильная», то есть такая, для которой вероятность выпадения герба и решки одинакова (и равна 1/2). Математическое ожидание выигрыша равно

Естественно рассматривать это математическое ожидание как платеж игроку в том случае, если выбраны эти стратегии.

Аналогичным способом мы можем вычислить платеж игроку для других пар стратегий; таким образом, мы получаем матрицу 5:

Матрица 5

Матрица не имеет седловой точки. Вычисление цены и оптимальных смешанных стратегий мы оставляем в качестве упражнения.

В следующем примере перед нами простая игра, в которой число альтернатив, имеющихся у одного из игроков, зависит от случая.

Пример 5.8. Ход I. Игрок выбирает число из множества {1, 2}.

Ход II. Выбирается число из множества {1, 2} посредством случайного механизма, такого, что вероятность выбора единицы равна (следовательно, вероятность выбора двойки равна 3/4).

Ход III. Игрок зная значение но не зная выбирает число z из множества {1, 2}, если у = 1, и из множества {1, 2, 3}, если у = 2.

После того как были сделаны три хода, игрок уплачивает игроку сумму , где М есть функция, определенная следующим образом:

(Мы не указываем значение и , так как не может выбрать 3, если случайный механизм выбрал 1.) На рис. 17 изображена диаграмма этой игры. Здесь символами «1/4» и «3/4» обозначены две альтернативы, из которых случайный механизм делает выбор.

Задачу описания стратегий и составления матрицы стратегий мы оставляем в качестве упражнения.

В следующем примере описана игра, в которой случайный механизм определяет, какой из игроков сделает следующий ход.

Пример 5.9. Ход I. Игрок выбирает число из множества {1, 2}.

Ход II. Выбирается число из множества {1, 2} посредством случайного механизма такого, что вероятность выбора единицы равна (следовательно, вероятность выбора двойки равна 4/5).

Если на втором ходу выбрана единица, то на последнем ходу зная значения выбирает число 2 из множества {1, 2}; если же на втором ходу было выбрано 2, то последний ход делает который, зная значения х и у, выбирает число z из множества {1, 2}. После трех ходов игроку уплачивается сумма М(х, у, z), где М есть функция, определенная в примере 5.1.

Диаграмма этой игры представлена на рис. 18.

Рис. 17.

Рис. 18.

Поскольку у в этой игре имеются три возможные информационные множества и поскольку в каждом информационном множестве у него выбор из двух альтернатив, то всего у имеются возможных стратегий, у четыре возможные стратегии.

Задачу вычисления матрицы стратегий мы оставляем в качестве упражнения.

Поскольку эта игра с полной информацией, матрица стратегий имеет седловую точку.