2. Формальные выводы

Итак, мы видим, что функция распределения F всегда удовлетворяет следующим условиям: 1) F(x)>0 для любого х из [0, 1]; 2) ; 3) F(x) есть неубывающая функция в замкнутом интервале [0, 1]; 4) F(x) непрерывна справа в открытом интервале (0, 1).

С точки зрения наших интуитивных догадок о вероятности представляется, возможным такое утверждение: любая функция, удовлетворяющая условиям (1), (2), (3) и (4), есть функция распределения, то есть если F — некоторая функция, удовлетворяющая этим условиям, то существует способ выбора чисел из интервала [0, 1], имеющий своей функцией распределения функцию F. Во всяком случае, понятие функции распределения станет математически строгим, если мы будем впредь применять этот термин просто для обозначения функции, удовлетворяющей указанным четырем условиям. Итак, чтобы проверить, что некоторая функция есть функция распределения, нам не нужно описывать сам случайный процесс, который ее порождает, а следует лишь проверить, что она определена на замкнутом интервале [0, 1], не принимает отрицательных значений, не убывает и т. д.

Мы будем применять букву D для обозначения множества всех функций распределения, то есть множества всех функций, которые удовлетворяют указанным четырем условиям.

Приведем теорему, полезную в дальнейшем. Теорема 8.2. Всякая последовательность функций распределения - содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции распределения F во всякой точке непрерывности функции .

Доказательство. Известно, что правильные дроби можно расположить в упорядоченную бесконечную последовательность. Мы можем это сделать, например, так: на первое место поместим единственную правильную дробь, имеющую знаменатель 2 (а именно ), затем в порядке возрастания расположим правильные дроби, имеющие знаменатель 3; затем дроби со знаменателем 4 (пропуская уже записанные) и т. д. Так мы получим:

Очевидно, таким путем можно дойти до любой правильной дроби. Запишем полученную последовательность правильных дробей так:

Пусть

есть произвольная последовательность функций распределения. Рассмотрим сначала последовательность чисел

Поскольку эта последовательность бесконечна и ограничена, она содержит сходящуюся подпоследовательность

Положив

мы видим, что последовательность

есть подпоследовательность последовательности (1), сходящаяся к пределу в точке .

Теперь рассмотрим последовательность чисел

Как и раньше, мы видим, что эта последовательность содержит подпоследовательность

которая является сходящейся. Положив

мы заключаем, что последовательность

есть подпоследовательность последовательности (1), сходящаяся к пределу как в точке так и в точке

Продолжая этот процесс и далее, мы получаем последовательность последовательностей

Каждая из этих последовательностей, по построению, есть подпоследовательность всех предыдущих и, следовательно, первоначальной последовательности (1), причем последовательность сходится к пределу в точках .

Из этой последовательности последовательностей мы образуем теперь «диагональную последовательность»

положив

Очевидно, (2) есть подпоследовательность последовательности (1). Кроме того, для любого m все (за исключением конечного числа) элементы последовательности (2) принадлежат последовательности

и, следовательно, последовательность (2) сходится к пределу для всех правильных дробей.

Теперь мы определим функцию на правильных дробях положив для любой правильной дроби

    (3)

и затем определим функцию F на всех числах в открытом единичном интервале, положив для любого такого числа

мы полагаем также

так что F определена на всем единичном интервале (включая его конечные точки). Для доказательства теоремы достаточно проверить, что F есть функция распределения и что последовательность (2) сходится к F во всякой точке непрерывности F. Из (5) следует, что для этого, в свою очередь, достаточно показать, что F неубывающая и непрерывна справа. Если и — любые числа, такие, что то множество всех рациональных чисел, больших чем есть подмножество множества всех рациональных чисел, больших чем следовательно,

или, на основании (4),

Итак, F — неубывающая функция. Чтобы показать, что F непрерывна справа, мы замечаем прежде всего, что функция по ее определению (3), неубывающая. Предположим, что

есть произвольная убывающая последовательность чисел, предел которых есть точка интервала (0, 1); нам нужно показать, что

Из (4) мы видим, что для всякого существует рациональное число такое, что

Взяв столь большое целое N, что получим для всех

и, следовательно, ввиду того, что функция F неубывающая, и ввиду (4)

Из (7) и (8) мы заключаем, что для

так что

что и требовалось доказать.

Прежде чем перейти к последней части доказательства, уместно заметить следующее следствие из (4): для рационального и произвольного мы имеем:

Наконец, мы покажем теперь, что диагональная последовательность (2) сходится к F во всякой точке непрерывности функции F. Пусть — точка непрерывности F, и пусть — произвольное положительное число. Из (4) мы немедленно заключаем, что существует рациональное число такое, что и

Из непрерывности функции F в х мы видим, что существует некоторое , такое, что

Пусть теперь s — любое рациональное число, такое, что

Из (12), (4) и (9) заключаем, что

далее, на основании (11) и (13),

Из (3) мы видим, что существует целое число N, такое, что для всех n > N

и

Далее, поскольку есть функция распределения и, следовательно, неубывающая функция, то

Из (16), (14), (10) и (15) мы получаем теперь:

Из (17) и (18) следует, что

Из (14), (16) и (19) мы заключаем окончательно, что для всех n > N

и следовательно,

что завершает доказательство теоремы.

Следующая теорема дает нам полезный способ построения новой функции распределения по данным функциям.

Теорема 8.3. Пусть — множество функций распределения, — некоторый элемент множества , и функция F определена для всех соотношением

Тогда F есть также функция распределения.

Доказательство. Исходя из того, что функции , т. е. удовлетворяют условиям 1 — 4, покажем, что функция F также удовлетворяет этим четырем условиям. Прежде всего, мы имеем:

так как по условию .

Далее, поскольку , имеем:

Аналогично доказывается, что .

Положим теперь, что и и и — любые числа в [0, 1], такие, что нам нужно показать, что . Поскольку каждая неубывающая,

и, следовательно, в силу неотрицательности

Складывая эти неравенства, получаем:

или

что и требовалось доказать.

Для завершения нашего доказательства остается показать, что F непрерывна справа в (0, 1). Возьмем произ вольное положительное число из (0, 1). Тогда на основании того, что каждая из функций непрерывна справа в мы имеем:

что и требовалось доказать.

Замечание 8.4. Установленную выше теорему можно обобщить в том смысле, что можно построить функцию распределения F по бесконечной последовательности функций распределения и по бесконечной последовательности неотрицательных чисел, сумма которых равна 1, положив

Но поскольку мы не будем применять теорему в этой форме, мы ограничились тем, что доказали ее для конечного числа функций распределения. Доказательство ее для бесконечных последовательностей функций распределения оставляется в качестве упражнения.

В заключение полезно выделить частный класс функций распределения, на который мы будем часто ссылаться в дальнейшем. Пусть имеется конечная возрастающая последовательность точек ийтервала [0, 1]

такая, что функция распределения F имеет разрывы в каждой из этих точек, но постоянна во всех других точках, то есть если для некоторого i мы имеем Тогда F называется ступенчатой функцией с ступенями. Мы обозначаем класс всех ступенчатых функций с ступенями через

График ступенчатой функции всегда состоит из конечного числа горизонтальных отрезков, прерывающихся в точках разрыва;

так, например, функция распределения, изображенная на рис. 41, есть элемент класса , имеющий разрывы при 0, и 1.

Легко видеть, что если суть ступенчатые функции и если суть неотрицательные действительные числа, сумма которых равна 1, то функция F, определенная соотношением

Рис. 41.

также есть ступенчатая функция. Число разрывов функции F не больше суммы числа разрывов функций если никакие из функций не имеют общих точек разрыва и , то число разрывов функции F равно этой сумме. Элементы класса имеют лишь одну ступень, разрыв в которой равен единице. Поэтому для указания элемента класса достаточно лишь сказать, где происходит этот скачок; символом обозначаем элемент класса имеющий скачок при Итак, для удовлетворяет равенствам

Функция удовлетворяет равенствам

Библиографические замечания

Более подробное рассмотрение функций распределения можно найти у Крамера [21].