ГЛАВА IX. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

Пусть дана непрерывная игра с платежной функцией выбирает число . Тогда для каждого которое может выбрать выигрыш определяется функцией

Предположим теперь, что вместо того чтобы всегда выбирать одно и то же число решает применить случайный механизм, которому соответствует функция распределения F. Очевидно, игроку для того чтобы сделать выбор между различными возможными функциями распределения, необходимо уметь находить математическое ожидание своего выигрыша, если он применяет

Итак, перед нами следующая задача.

Пусть для есть сумма, которую получит если он выберет (причем делает выборы по функции распределения F). Каково математическое ожидание выигрыша у ?

Очевидно, мы не можем сказать, что это математическое ожидание равно сумме всех произведений G(x)Р(х), где Р(х) есть вероятность того, что будет выбрано х, ибо, как мы видели в предыдущей главе, вероятность Р(х) может быть равна нулю для всех х.

С другой стороны, математическое ожидание выигрыша мы можем выразить приближенно следующим образом. Берем три значения х, скажем, , и составляем следующее выражение:

Первый член этой суммы равен выигрышу если он выберет у, умноженному на вероятность того, что он выберет в интервале второй член равен выигрышу его в случае, если выберет 1, умноженному на вероятность того, что он выберет в интервале Другое приближение можно получить из данного разбиения интервала, написав

где — любые числа из интервалов . Если G изменяется незначительно в интервале или в интервале то эти два приближения не будут сильно отличаться друг от друга. Если мы будем считать, что минимальное значение в интервале принимает при а в интервале при то наше интуитивное представление подсказывает, что математическое ожидание выигрыша для равно по меньшей мере

Аналогично, если G принимает максимальные значения в этих двух интервалах соответственно при то математическое ожидание выигрыша для равно самое большее

Но оказывается, что можно получить более точные верхнюю и нижнюю границы для математического ожидания выигрыша игрока если взять четыре точки разбиения; или еще лучше — пять и т. д. Итак, нам нужно рассмотреть разбиенинтервала точками и образовать сумму

где . Интуитивно представляется очевидным, что если G есть функция «приемлемого» вида, то можно подойти как угодно близко к математическому ожиданию выигрыша игрока беря достаточно большим и следя за тем, чтобы все разности стремились к нулю при возрастании п. (Если G не «пригодна» для того, чтобы приближение сделать сколь угодно точным, то мы уже не можем вполне уверенно сказать, что именно назвать математическим ожиданием выигрыша игрока )

Сумма

имеет некоторое сходство с суммой

применяемой при определении обычного (риманова) интеграла; действительно, сумма (2) есть лишь частный случай суммы (1), когда для всех . Поэтому естественно рассматривать предел суммы (1) также как интеграл. Мы переходим теперь к формальному определению интеграла этого вида, который называется интегралом Стилтъеса.

Определение 9.1. Пусть А обозначает разбиение интервала точками , где

Обозначим наибольшую из разностей

через . Если предел

(где ) существует и не зависит от выбора значений то этот предел называется интегралом Стилтьеса функции G по F от а до b и обозначается так:

Мы можем теперь сказать, что если G(х) есть выигрыш игрока когда он выбирает х, и если он выбирает х по функции распределения F, то математическое ожидание его выигрыша будет равно

Поскольку интеграл Стилтьеса определен путем сложного предельного перехода, не удивительно, что он не всегда существует. В частности, легко показать, что он не существует, если G и F имеют общую точку разрыва. Например, пусть

и пусть

Здесь одна из разностей при не может быть сделана меньше может быть равна либо 0, либо 1, в зависимости от выбора Следовательно, в этом случае сумма (1) равна либо 0, либо 1, в зависимости от того, равна нулю или единице. Итак, предел (3) зависит от выбора и, следовательно, интеграл

не существует.

Теперь мы сформулируем и докажем теорему, которая указывает достаточные условия существования интеграла Стилтьеса.

Теорема 9.2. Если функция G непрерывна в интервале и функция F — неубывающая, то интеграл

существует.

Замечание 9.3. В частном случае, когда , теорема 9.2 сводится к известной теореме интегрального исчисления, которая гласит, что если G непрерывна на интервале , то интеграл Римана существует. Ввиду этого соотношения естественно, что доказательство теоремы 9.2 весьма похоже на доказательство соответствующей теоремы для интеграла Римана, хотя и несколько сложнее. Доказательство теоремы 9.2 мы дадим полностью, но опустим доказательства других теорем, аналогичных соответствующим теоремам относительно интегралов Римана.

Введем некоторые дополнительные обозначения, которые будут применяться в доказательстве теоремы 9.2 и некоторых вспомогательных лемм. Мы принимаем везде, что и т. д. суть разбиения интервала непрерывна на [а, b] и F — неубывающая на [а, b]. Мы определяем:

Очевидно, , а поскольку F не убывает, то .

Точки которые определяют разбиение , называются точками разбиения . Если всякая точка разбиения есть также точка разбиения то разбиение называется подразбиением разбиения Очевидно, если есть подразбиение есть подразбиение то тождественны.

Лемма 9.4. Если есть подразбиение разбиения , то .

Доказательство. Пусть точки разбиения суть а разбиение включает в себя все точки плюс еще одну точку которая не является точкой разбиения . Пусть

и

Очевидно, . Следовательно,

причем для член входит и в выражение для и в выражение для Следовательно, в этом частном случае .

Если есть какое-либо подразбиение разбиения , отличное от самого , то имеется конечная цепь разбиений, начинающаяся с и кончающаяся и имеющая то свойство, что каждое разбиение этой цепи (за исключением ) есть такое подразбиение предыдущего, которое состоит из всех точек предыдущего разбиения и еще одной новой точки. Теперь лемма легко устанавливается путем повторных применений вышеуказанного рассуждения.

Аналогично доказывается

Лемма 9. 5. Если — подразбиение разбиения , то

Лемма 9.6. Если суть разбиения интервала то

Построим разбиение каждая точка которого есть точка либо либо .

Тогда есть подразбиение разбиений Следовательно, на основании лемм 9.4 и Поскольку мы получаем искомый вывод.

Из этого предложения следует, что если — некоторое разбиение, то является верхней границей чисел для любых разбиений . Следовательно, числа имеют наименьшую верхнюю границу, которую мы обозначим через s. Аналогично, числа имеют наибольшую нижнюю границу, которую мы обозначим через S.

Лемма 9.7.

Доказательство. Поскольку G непрерывна в замкнутом интервале [а, b], она равномерно непрерывна в нем, то есть для любого найдется такое, что как только . Это значит, что если , то для . Следовательно,

Поэтому мы можем написать:

Каждая из трех скобок неотрицательна. Следовательно, поскольку разность фиксирована и произвольно мало, каждая из трех скобок должна стремиться к нулю, когда стремится к нулю. Этим завершается доказательство.

Доказательство теоремы 9.2. Из определений символов следует, что для любого разбиения и для любого выбора величин в (3) мы имеем:

Из этого неравенства и из леммы 9.7 вытекает, что предел (3) существует и равен .

Замечание 9.8. Легко показать, что условия, наложенные на G и F, не являются необходимыми для существования интеграла . В частности, очевидно, что вместо неубывающей функции F можно взять невозрастающую. Возможны другие обобщения, но для наших целей они не нужны. Следующие девять теорем можно установить посредством очень простых доказательств, из коих некоторые аналогичны обычным доказательствам подобных же теорем относительно римановых интегралов. Мы опустим такие доказательства.

Теорема 9.9. Если , то

при условии, что эти интегралы существуют.

Теорема 9.10. Если указанные ниже интегралы существуют, то

Теорема 9.11. Если указанные ниже интегралы существуют, то

Теорема 9.12. Если указанные ниже интегралы существуют и если k — любое действительное число, то

Теорема 9.13. Если указанные ниже интегралы существуют и если k — любое действительное число, то

Теорема 9.14. Если указанные ниже интегралы существуют и если F — неубывающая функция, то

Теорема 9.15. Если указанные ниже интегралы существуют, если F — неубывающая и если для всех из , то

Далее, если F непостоянна на , если G и Н непрерывны на и если всех из то

Теорема 9.16. Если F есть любая функция распределения, то

Теорема 9.17. Если указанные ниже интегралы существуют, то

Замечание 9.18. Теорема 9.17 соответствует общеизвестному способу интегрирования по частям обычных неопределенных интегралов.

Мы докажем теперь теорему, которая позволяет нам в некоторых случаях свести задачу вычисления интеграла Стилтьеса к задаче вычисления обычного (риманова) интеграла.

Теорема 9.19. Если указанные ниже интегралы существуют и если функция F имеет производную F в каждой точке , то

Доказательство. Пусть точки образуют разбиение интервала . Поскольку F имеет производную в , то по теореме о среднем из этого следует, что имеются числа такие, что и

Поскольку интеграл Римана существует,то существует и предел

не зависящий от выбора величин Ввиду (4) имеем:

Теперь наше предложение вытекает из этого равенства и из условия, что указанные в теореме два интеграла существуют.

Теперь мы докажем теорему, которая позволит нам вычислять интеграл Стилтьеса от функции G(х) по ступенчатой функции F(х).

Теорема 9.20. Пусть а, b и — действительные числа, удовлетворяющие неравенствам

пусть — действительные числа, пусть ступенчатая функция F определена следующим образом:

Пусть G — любая функция, определенная на интервале и непрерывная в точках . Тогда

Замечание 9.21. Заметим, что если условие непрерывности функции G в точках не выполнено, то интеграл не существует. Следовательно, теорема позволяет нам вычислять интеграл , когда F — ступенчатая функция и интеграл существует.

Напомним, что мы определяли в последнем абзаце главы VIII.

Доказательство теоремы . На основании теорем 9.10 и 9.12, очевидно, достаточно доказать теорему для случая, когда

Функция G непрерывна при ; следовательно, всякому положительному числу соответствует положительное число , такое, что если , то . Пусть — некоторое разбиение интервала , для которого и пусть — точки разбиения . Пусть . Тогда для Следовательно,

Поскольку . Следовательно,

Отсюда непосредственно вытекает

Теорема доказана.

В заключение этой главы мы докажем три специальные теоремы, которыми воспользуемся в последующих главах.

Теорема 9.22. Если G — непрерывная функция в замкнутом интервале [0, 1], то

существует и

кроме того,

существует и

Доказательство. Напомним, что D есть множество всех функций распределения. Поскольку функция G непрерывна в замкнутом интервале, то существует. Пусть а — число в интервале [0, 1], такое, что

Но поскольку для всех х в [0, 1]

то на основании теорем 9.16, 9.12 и 9.15 для любой функции распределения F

и, следовательно,

Кроме того, на основании теоремы 9.20 имеем:

Из (5) и (6) заключаем, что

Итак, точная нижняя грань по F чисел

действительно достигается (именно, при ), а это значит, что

существует и что

Этим завершается доказательство первой части теоремы. Вторая часть доказывается аналогично.

Теорема 9.23. Если G есть непрерывная функция в замкнутом интервале [0, 1] и если — последовательность функций распределения, сходящаяся к функции распределения F (во всякой точке непрерывности функции F), то

Замечание 9.24. При доказательстве этой теоремы мы применим обозначение, введенное перед леммой 9.4, конкретизируя его для случая, когда интервал [а, b] совпадает с отрезком [0, 1]. Мы используем также следующую лемму, доказательство которой не представляет труда и здесь не приводится (см. упражнение 5 главы VIII).

Лемма 9.25. Если F — функция распределения и — положительное число, то существуют точки

такие, что F непрерывна при .

Доказательство теоремы 9.23. Пусть задано положительное число , и пусть — положительное число, такое, что если — любое разбиение интервала [0, 1], для которого , то . Выберем разбиение Д интервала [0, 1], для которого и такое, что точки образующие разбиение (за исключением, быть может, ), суть точки непрерывности функции F (лемма гарантирует нам, что такое разбиение существует).

Поскольку последовательность сходится к для любого , то отсюда следует, что существует целое Т, такое, что если то

Поскольку , то

и

Далее,

и

Пусть

Тогда . Но если мы имеем:

где последнее неравенство вытекает из (8) и (9). Из (9) и (13) имеем:

Используя (10) и (13), аналогично получаем:

Из (14) и (15) ввиду (11) и (12) вытекает, что

Поскольку фиксировано, а произвольно, то из (16) следует:

что и требовалось доказать.

Прежде чем доказать последнюю теорему этой главы, введем одно определение.

Определение 9.26. Пусть — функция, определенная в интервале , где h — положительное число. Предположим, что для всякой убывающей последовательности неотрицательных чисел, стремящихся к нулю при для которых мы имеем:

Тогда мы говорим, что с есть производная функции F в точке а слева.

Аналогично, пусть F определена в интервале где h — любое положительное число, и пусть для всякой убывающей последовательности неотрицательных чисел, стремящихся к нулю, для которых , мы имеем:

Тогда мы говорим, что d есть производная функции F в точке а справа. Очевидно, если производная функции F в точке а существует, то существуют обе односторонние производные, равные этой производной. Обратно, если обе односторонние производные существуют и равны между собой, то и обычная производная функции F также существует. Поскольку функция распределения неубывающая, она не может иметь отрицательной производной ни слева, ни справа.

Теорема 9.27. Пусть — непрерывная функция на [0, 1], v — действительное число, такое, что для всех — функция распределения, такая, что

Тогда, если — любая точка интервала и производная слева функции F в точке не равна нулю (то есть положительна или бесконечна), то

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда , где положительно. Поскольку Н непрерывна, существует положительное число , такое, что , когда . Мы имеем, далее,

Легко доказать, что

Поскольку F — неубывающая и ее производная слева в точке х отлична от нуля, то

так что

Так как это противоречит формуле (17), то мы заключаем, что теорема справедлива.

Библиографические замечания

Более подробный разбор интеграла Стилтьеса можно найти в работах Виддера [123] и [124], на которых в большой степени основана настоящая глава.