Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА IX. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСАПусть дана непрерывная игра с платежной функцией
Предположим теперь, что Итак, перед нами следующая задача. Пусть Очевидно, мы не можем сказать, что это математическое ожидание равно сумме всех произведений G(x)Р(х), где Р(х) есть вероятность того, что будет выбрано х, ибо, как мы видели в предыдущей главе, вероятность Р(х) может быть равна нулю для всех х. С другой стороны, математическое ожидание выигрыша мы можем выразить приближенно следующим образом. Берем три значения х, скажем,
Первый член этой суммы равен выигрышу
где
Аналогично, если G принимает максимальные значения в этих двух интервалах соответственно при
Но оказывается, что можно получить более точные верхнюю и нижнюю границы для математического ожидания выигрыша игрока
где Сумма
имеет некоторое сходство с суммой
применяемой при определении обычного (риманова) интеграла; действительно, сумма (2) есть лишь частный случай суммы (1), когда для всех Определение 9.1. Пусть А обозначает разбиение интервала
Обозначим наибольшую из разностей
через
(где
Мы можем теперь сказать, что если G(х) есть выигрыш игрока
Поскольку интеграл Стилтьеса определен путем сложного предельного перехода, не удивительно, что он не всегда существует. В частности, легко показать, что он не существует, если G и F имеют общую точку разрыва. Например, пусть
и пусть
Здесь одна из разностей
не существует. Теперь мы сформулируем и докажем теорему, которая указывает достаточные условия существования интеграла Стилтьеса. Теорема 9.2. Если функция G непрерывна в интервале
существует. Замечание 9.3. В частном случае, когда Введем некоторые дополнительные обозначения, которые будут применяться в доказательстве теоремы 9.2 и некоторых вспомогательных лемм. Мы принимаем везде, что
Очевидно, Точки Лемма 9.4. Если Доказательство. Пусть точки разбиения
и
Очевидно,
причем для Если Аналогично доказывается Лемма 9. 5. Если Лемма 9.6. Если Построим разбиение Тогда Из этого предложения следует, что если Лемма 9.7. Доказательство. Поскольку G непрерывна в замкнутом интервале [а, b], она равномерно непрерывна в нем, то есть для любого
Поэтому мы можем написать:
Каждая из трех скобок неотрицательна. Следовательно, поскольку разность Доказательство теоремы 9.2. Из определений символов
Из этого неравенства и из леммы 9.7 вытекает, что предел (3) существует и равен Замечание 9.8. Легко показать, что условия, наложенные на G и F, не являются необходимыми для существования интеграла Теорема 9.9. Если
при условии, что эти интегралы существуют. Теорема 9.10. Если указанные ниже интегралы существуют, то
Теорема 9.11. Если указанные ниже интегралы существуют, то
Теорема 9.12. Если указанные ниже интегралы существуют и если k — любое действительное число, то
Теорема 9.13. Если указанные ниже интегралы существуют и если k — любое действительное число, то
Теорема 9.14. Если указанные ниже интегралы существуют и если F — неубывающая функция, то
Теорема 9.15. Если указанные ниже интегралы существуют, если F — неубывающая и если
Далее, если F непостоянна на
Теорема 9.16. Если F есть любая функция распределения, то
Теорема 9.17. Если указанные ниже интегралы существуют, то
Замечание 9.18. Теорема 9.17 соответствует общеизвестному способу интегрирования по частям обычных неопределенных интегралов. Мы докажем теперь теорему, которая позволяет нам в некоторых случаях свести задачу вычисления интеграла Стилтьеса к задаче вычисления обычного (риманова) интеграла. Теорема 9.19. Если указанные ниже интегралы существуют и если функция F имеет производную F в каждой точке
Доказательство. Пусть точки
Поскольку интеграл Римана
не зависящий от выбора величин
Теперь наше предложение вытекает из этого равенства и из условия, что указанные в теореме два интеграла существуют. Теперь мы докажем теорему, которая позволит нам вычислять интеграл Стилтьеса от функции G(х) по ступенчатой функции F(х). Теорема 9.20. Пусть а, b и
пусть
Пусть G — любая функция, определенная на интервале
Замечание 9.21. Заметим, что если условие непрерывности функции G в точках Напомним, что Доказательство теоремы
Функция G непрерывна при
Поскольку
Отсюда непосредственно вытекает
Теорема доказана. В заключение этой главы мы докажем три специальные теоремы, которыми воспользуемся в последующих главах. Теорема 9.22. Если G — непрерывная функция в замкнутом интервале [0, 1], то
существует и
кроме того,
существует и
Доказательство. Напомним, что D есть множество всех функций распределения. Поскольку функция G непрерывна в замкнутом интервале, то
Но поскольку для всех х в [0, 1]
то на основании теорем 9.16, 9.12 и 9.15 для любой функции распределения F
и, следовательно,
Кроме того, на основании теоремы 9.20 имеем:
Из (5) и (6) заключаем, что
Итак, точная нижняя грань по F чисел
действительно достигается (именно, при
существует и что
Этим завершается доказательство первой части теоремы. Вторая часть доказывается аналогично. Теорема 9.23. Если G есть непрерывная функция в замкнутом интервале [0, 1] и если
Замечание 9.24. При доказательстве этой теоремы мы применим обозначение, введенное перед леммой 9.4, конкретизируя его для случая, когда интервал [а, b] совпадает с отрезком [0, 1]. Мы используем также следующую лемму, доказательство которой не представляет труда и здесь не приводится (см. упражнение 5 главы VIII). Лемма 9.25. Если F — функция распределения и
такие, что F непрерывна при Доказательство теоремы 9.23. Пусть задано положительное число Поскольку последовательность
Поскольку
и
Далее,
и
Пусть
Тогда
где последнее неравенство вытекает из (8) и (9). Из (9) и (13) имеем:
Используя (10) и (13), аналогично получаем:
Из (14) и (15) ввиду (11) и (12) вытекает, что
Поскольку
что и требовалось доказать. Прежде чем доказать последнюю теорему этой главы, введем одно определение. Определение 9.26. Пусть
Тогда мы говорим, что с есть производная функции F в точке а слева. Аналогично, пусть F определена в интервале
Тогда мы говорим, что d есть производная функции F в точке а справа. Очевидно, если производная функции F в точке а существует, то существуют обе односторонние производные, равные этой производной. Обратно, если обе односторонние производные существуют и равны между собой, то и обычная производная функции F также существует. Поскольку функция распределения неубывающая, она не может иметь отрицательной производной ни слева, ни справа. Теорема 9.27. Пусть
Тогда, если
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда
Легко доказать, что
Поскольку F — неубывающая и ее производная слева в точке х отлична от нуля, то
так что
Так как это противоречит формуле (17), то мы заключаем, что теорема справедлива. Библиографические замечанияБолее подробный разбор интеграла Стилтьеса можно найти в работах Виддера [123] и [124], на которых в большой степени основана настоящая глава.
|
1 |
Оглавление
|