Главная > Введение в теорию игр
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИГР

1. Смешанные стратегии

Рассмотрим прямоугольную игру, имеющую матрицу

Поскольку матрица не имеет седловой точки, наши прежние методы недостаточны, ятобы позволить нам определить оптимальные способы игры для Кроме того, безразлично, выберет ли или , так как в обоих случаях он получит 1 или — 1, если, соответственно, сделает такой же или противоположный выбор. С другой стороны, если знает, какой выбор сделает то может поступить так, что должен будет заплатить ему 1 (для этого он должен сделать противоположный выбор). Таким образом, оказывается, что для весьма важно сделать так, чтобы было трудно угадать, какой выбор он намеревается сделать. Один из способов, которым может этого достичь, является случайный выбор.

Допустим, например, что решает сделать свой выбор путем бросания монеты, выбирая 1, если монета показывает герб, и выбирая 2, если она показывает решку. В этом случае, поскольку вероятность того, что выберет 1, равна и вероятность того, что он выберет 2, такая же, математическое ожидание выигрыша для в случае, если выбирает 1, равно

и оно будет таким же, если выберет 2. Следовательно, если выбирает этим способом, то математическое ожидание его выигрыша будет равно нулю, независимо от того, что предпринимает

В действительности это единственный способ, которым может играть в рассматриваемую игру, не подвергаясь риску проигрыша, даже в том случае, если узнает, какой выбор он собирается сделать. Допустим, что применяет метод случайного выбора, который определяет, что вероятность выбора 1 равна и вероятность выбора 2 равна предположим, что знает, какой случайный механизм применяет Тогда математическое ожидание выигрыша игрока если выбирает 1, равно

и если выбирает 2, математическое ожидание выигрыша игрока равно

Если то так что математическое ожидание выигрыша если выбирает 2, меньше нуля; и если то математическое ожидание выигрыша если выбирает 1, тоже меньше нуля.

Отсюда следует, что оптимальный вариант игры в эту игру для(и, по тем же причинам, для ) — выбирать 1 или 2, каждое с вероятностью у. Цена игры для (т. е. математическое ожидание его выигрыша, если он играет оптимальным способом) равна нулю.

В приведенных выше рассуждениях мы все время говорили об использовании случайных механизмов которые определяют вероятности различных выборов. Однако иногда интуитивно проще говорить об относительных частотах различных выборов.

На следующих страницах мы часто будем употреблять этот менее точный способ выражения.

Рассмотрим теперь несколько более сложный пример: прямоугольную игру с матрицей

Поскольку матрица не имеет седловой точки, то, по-видимому, для желательно играть только с определенными частотами. Предположим, что выбирает 1 с частотой х и 2 с частотой 1 — х (так что ни х, ни 1 — х не отрицательны), а выбирает 1 с частотой у и 2 с частотой 1 — у. Тогда математическое ожидание выигрыша для равно

Перед нами возникает задача — придать точный математический смысл интуитивному понятию оптимального выбора величины и оптимального выбора величины у (для ).

Выполняя элементарные алгебраические преобразования, получим

Отсюда видно, что если берет математическое ожидание его выигрыша по крайней мере будет . Более того, он не может обеспечить себе выигрыш больше 5/2, так как, взяв может гарантировать, что ожидаемый выигрыш у будет как раз 5/2, и не больше чем 5/2. Итак, может ставить на 5/2 и, выбрав получить эту сумму. Подобно этому может примириться с тем, что он получит — 5/2, и, выбрав получить эту сумму.

Следовательно, для этой игры мы вправе сказать, что оптимальный способ игры для — выбирать 1 и 2 одинаково часто, а оптимальный способ игры для — выбирать 1 с вероятностью 1/4 и выбирать 2 с вероятностью 3/4. Очевидно, в этом случае у можно принять за цену этой игры.

Из равенства (1) мы находим, что для всех , лежащих между 0 и 1,

Таким образом, точка есть седловая точка функции . Неравенство (2) вообще можно принять за определение оптимальных частот для любой прямоугольной игры с матрицей 2x2.

Итак, если математическое ожидание выигрыша первого игрока в такой игре, когда выбирает 1 и 2 с относительными частотами и выбирает 1 и 2 с относительными частотами и то мы говорим, что х есть оптимальная частота для оптимальная частота для если для всех лежащих между 0 и 1,

Распространим это определение на все произвольные прямоугольные игры ( т. е. прямоугольные игры, матрицы которых имеют произвольное число строк и столбцов).

Рассмотрим прямоугольную игру с матрицей

Смешанной стратегией для мы будем называть упорядоченную систему m действительных неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию

причем числа можно рассматривать как частоты, с которыми выбирает числа 1, 2, ...,m. Будем впредь употреблять символ для обозначения этого множества m-мерных векторов (смешанных стратегий).

Аналогично, смешанной стратегией для мы будем называть элемент множества , т. е. упорядоченную систему неотрицательных действительных чисел , удовлетворяющих условию

Иногда мы будем называть сами числа чистыми стратегиями игрока а числа — чистыми стратегиями игрока . Очевидно, что для игра с чистой стратегией к эквивалентна игре со смешанной стратегией , где для .

Если применяет смешанную стратегию применяет смешанную стратегию то математическое ожидание выигрыша для определяется формулой

Если оказывается, что для некоторого и некоторого и для всех и всех

то мы называем X и У оптимальными смешанными стратегиями для и — ценой игры для Если и оптимальные стратегии соответственно для и то мы называем иногда упорядоченную пару решением игры или стратегической седловой точкой.

Интуитивная адекватность вышеизложенных определений заключается в следующем. Если и — смешанные стратегии, удовлетворяющие условию (3), то, применяя может гарантировать себе, что он получит по меньшей мере , независимо от того, как поступит Аналогично, используя может не дать получить больше чем .

Итак, представляет ту сумму, которую может надеяться получить — он может получить ее, выбирая , а может ограничить его этой суммой, выбирая .

Если две величины

и

существуют и равны между собой, то на основании теоремы 1.5 существуют смешанные стратегии, удовлетворяющие условию (3), так что игра имеет цену и имеются оптимальные стратегии для обоих игроков. Таким образом, вопрос о существовании и равенстве их между собой является очень важным. В § 3 мы покажем, что они всегда существуют и равны между собой, и, следовательно, определений этого параграфа достаточно для того, чтобы найти цену произвольной прямоугольной игры и ее оптимальные стратегии. Прежде чем обратиться к доказательству этого положения, удобно ввести некоторые геометрические понятия и теоремы, которые понадобятся нам в дальнейшем.

1
Оглавление
email@scask.ru