ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИГР

1. Смешанные стратегии

Рассмотрим прямоугольную игру, имеющую матрицу

Поскольку матрица не имеет седловой точки, наши прежние методы недостаточны, ятобы позволить нам определить оптимальные способы игры для Кроме того, безразлично, выберет ли или , так как в обоих случаях он получит 1 или — 1, если, соответственно, сделает такой же или противоположный выбор. С другой стороны, если знает, какой выбор сделает то может поступить так, что должен будет заплатить ему 1 (для этого он должен сделать противоположный выбор). Таким образом, оказывается, что для весьма важно сделать так, чтобы было трудно угадать, какой выбор он намеревается сделать. Один из способов, которым может этого достичь, является случайный выбор.

Допустим, например, что решает сделать свой выбор путем бросания монеты, выбирая 1, если монета показывает герб, и выбирая 2, если она показывает решку. В этом случае, поскольку вероятность того, что выберет 1, равна и вероятность того, что он выберет 2, такая же, математическое ожидание выигрыша для в случае, если выбирает 1, равно

и оно будет таким же, если выберет 2. Следовательно, если выбирает этим способом, то математическое ожидание его выигрыша будет равно нулю, независимо от того, что предпринимает

В действительности это единственный способ, которым может играть в рассматриваемую игру, не подвергаясь риску проигрыша, даже в том случае, если узнает, какой выбор он собирается сделать. Допустим, что применяет метод случайного выбора, который определяет, что вероятность выбора 1 равна и вероятность выбора 2 равна предположим, что знает, какой случайный механизм применяет Тогда математическое ожидание выигрыша игрока если выбирает 1, равно

и если выбирает 2, математическое ожидание выигрыша игрока равно

Если то так что математическое ожидание выигрыша если выбирает 2, меньше нуля; и если то математическое ожидание выигрыша если выбирает 1, тоже меньше нуля.

Отсюда следует, что оптимальный вариант игры в эту игру для(и, по тем же причинам, для ) — выбирать 1 или 2, каждое с вероятностью у. Цена игры для (т. е. математическое ожидание его выигрыша, если он играет оптимальным способом) равна нулю.

В приведенных выше рассуждениях мы все время говорили об использовании случайных механизмов которые определяют вероятности различных выборов. Однако иногда интуитивно проще говорить об относительных частотах различных выборов.

На следующих страницах мы часто будем употреблять этот менее точный способ выражения.

Рассмотрим теперь несколько более сложный пример: прямоугольную игру с матрицей

Поскольку матрица не имеет седловой точки, то, по-видимому, для желательно играть только с определенными частотами. Предположим, что выбирает 1 с частотой х и 2 с частотой 1 — х (так что ни х, ни 1 — х не отрицательны), а выбирает 1 с частотой у и 2 с частотой 1 — у. Тогда математическое ожидание выигрыша для равно

Перед нами возникает задача — придать точный математический смысл интуитивному понятию оптимального выбора величины и оптимального выбора величины у (для ).

Выполняя элементарные алгебраические преобразования, получим

Отсюда видно, что если берет математическое ожидание его выигрыша по крайней мере будет . Более того, он не может обеспечить себе выигрыш больше 5/2, так как, взяв может гарантировать, что ожидаемый выигрыш у будет как раз 5/2, и не больше чем 5/2. Итак, может ставить на 5/2 и, выбрав получить эту сумму. Подобно этому может примириться с тем, что он получит — 5/2, и, выбрав получить эту сумму.

Следовательно, для этой игры мы вправе сказать, что оптимальный способ игры для — выбирать 1 и 2 одинаково часто, а оптимальный способ игры для — выбирать 1 с вероятностью 1/4 и выбирать 2 с вероятностью 3/4. Очевидно, в этом случае у можно принять за цену этой игры.

Из равенства (1) мы находим, что для всех , лежащих между 0 и 1,

Таким образом, точка есть седловая точка функции . Неравенство (2) вообще можно принять за определение оптимальных частот для любой прямоугольной игры с матрицей 2x2.

Итак, если — математическое ожидание выигрыша первого игрока в такой игре, когда выбирает 1 и 2 с относительными частотами и выбирает 1 и 2 с относительными частотами и то мы говорим, что х есть оптимальная частота для оптимальная частота для если для всех лежащих между 0 и 1,

Распространим это определение на все произвольные прямоугольные игры ( т. е. прямоугольные игры, матрицы которых имеют произвольное число строк и столбцов).

Рассмотрим прямоугольную игру с матрицей

Смешанной стратегией для мы будем называть упорядоченную систему m действительных неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию

причем числа можно рассматривать как частоты, с которыми выбирает числа 1, 2, ...,m. Будем впредь употреблять символ для обозначения этого множества m-мерных векторов (смешанных стратегий).

Аналогично, смешанной стратегией для мы будем называть элемент множества , т. е. упорядоченную систему неотрицательных действительных чисел , удовлетворяющих условию

Иногда мы будем называть сами числа чистыми стратегиями игрока а числа — чистыми стратегиями игрока . Очевидно, что для игра с чистой стратегией к эквивалентна игре со смешанной стратегией , где для .

Если применяет смешанную стратегию применяет смешанную стратегию то математическое ожидание выигрыша для определяется формулой

Если оказывается, что для некоторого и некоторого и для всех и всех

то мы называем X и У оптимальными смешанными стратегиями для и — ценой игры для Если и оптимальные стратегии соответственно для и то мы называем иногда упорядоченную пару решением игры или стратегической седловой точкой.

Интуитивная адекватность вышеизложенных определений заключается в следующем. Если и — смешанные стратегии, удовлетворяющие условию (3), то, применяя может гарантировать себе, что он получит по меньшей мере , независимо от того, как поступит Аналогично, используя может не дать получить больше чем .

Итак, представляет ту сумму, которую может надеяться получить — он может получить ее, выбирая , а может ограничить его этой суммой, выбирая .

Если две величины

и

существуют и равны между собой, то на основании теоремы 1.5 существуют смешанные стратегии, удовлетворяющие условию (3), так что игра имеет цену и имеются оптимальные стратегии для обоих игроков. Таким образом, вопрос о существовании и равенстве их между собой является очень важным. В § 3 мы покажем, что они всегда существуют и равны между собой, и, следовательно, определений этого параграфа достаточно для того, чтобы найти цену произвольной прямоугольной игры и ее оптимальные стратегии. Прежде чем обратиться к доказательству этого положения, удобно ввести некоторые геометрические понятия и теоремы, которые понадобятся нам в дальнейшем.