2. Алгебраические леммы

Чтобы доказать основную теорему о непрерывных играх, уместно сначала установить две алгебраические леммы.

Лемма 10.1. Пусть

суть m однородных линейных форм n неизвестных (с действительными коэффициентами), и пусть -действительное число, такое, всякого элемента в существует целое число , для которого

Тогда существует элемент множества такой, что для всякого элемента множества

Доказательство. Пусть оптимальные стратегии соответственно для в прямоугольной игре, имеющей матрицу

(Эти оптимальные стратегии существуют на основании теоремы 2.6.) По условию леммы имеется целое , такое, что

Пусть — элемент множества такой, что если если . Далее, если есть любой элемент множества S, то мы получаем, используя теорему 2.6,

что и требовалось доказать.

Следующую лемму можно доказать таким же образом. Лемма 10.2. Пусть

суть m однородных линейных форм неизвестных (с действительными коэффициентами), и пусть — действительное число, такое, что для всякого элемента в существует целое для которого

Тогда существует элемент множества такой, что для всякого элемента множества

Замечание 10.3. Следует отметить, что хотя леммы 10.1 и 10.2 являются чисто алгебраическими, мы доказали их при помощи теоремы, относящейся к играм (теорема 2.6). С другой стороны, приняв эти алгебраические леммы, мы легко можем доказать теорему 2.6.