(Эти оптимальные стратегии существуют на основании теоремы 2.6.) По условию леммы имеется целое
, такое, что
Пусть
— элемент множества
такой, что
если
если
. Далее, если
есть любой элемент множества S, то мы получаем, используя теорему 2.6,
что и требовалось доказать.
Следующую лемму можно доказать таким же образом. Лемма 10.2. Пусть
суть m однородных линейных форм
неизвестных (с действительными коэффициентами), и пусть
— действительное число, такое, что для всякого элемента
в
существует целое
для которого
Тогда существует элемент
множества
такой, что для всякого элемента
множества
Замечание 10.3. Следует отметить, что хотя леммы 10.1 и 10.2 являются чисто алгебраическими, мы доказали их при помощи теоремы, относящейся к играм (теорема 2.6). С другой стороны, приняв эти алгебраические леммы, мы легко можем доказать теорему 2.6.