Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА XVI. РЕШЕНИЯ ИГР n ЛИЦ1. ИсходКак было указано, в играх n лиц мы интересуемся вопросами о том, какие коалиции могут быть образованы и что будет уплачено каждому игроку (после производства побочных платежей) в случае образования данной коалиции. Выигрыши нескольких игроков данной коалиции и побочные платежи можно представить как вектор Но поскольку игра имеет нулевую сумму, так что деньги не создаются и не уничтожаются, очевидно, выигрыши игроков должны в сумме давать нуль, то есть
Мы замечаем далее, что такой вектор
так как игрок i может позаботиться о том, чтобы получить Поскольку мы часто будем говорить о векторах, удовлетворяющих указанным двум условиям, уместно дать им название. Определение 16.1. Под исходом для игры
такой, что
и
Замечание 16.2. Можно подумать, что второе условие нашего определения может быть усилено так, чтобы в нем говорилось, что если Т есть любое подмножество множества N, то
Но интуитивные основания этого более сильного условия не столь очевидны, как основания более слабого условия. В самом деле, хотя игроки множества Т, составив коалицию, могут быть уверены, что коллективно они получат
и, следовательно, поскольку
или
поскольку
мы имели бы отсюда
Аналогичным образом мы могли бы получить
и
а это противоречит допущению, что Замечание 16.3. Легко убедиться, что множество всех исходов для игры Исход
Аналогично, подмножество Т множества N всех игроков предпочтет исход
Однако, если не будет иметь место соотношение
то предпочтение исхода Эти соображения приводят нас к понятию предпочтения. Мы имеем в виду обоснованное предпочтение со стороны непустого множества игроков, которое определяется следующим образом. Определение 16.4. Пусть Тогда мы говорим, что
Когда
Если
Замечание 16.5. Интересно исследовать некоторые общие свойства соотношения предпочтения. Из условия (1) определения 16.4 следует, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к пустому множеству. Далее, из условия (2) определения 16.1 и из 16.4 мы видим, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к множеству, состоящему из одного элемента, ибо если бы мы имели
то мы могли бы заключить из условия (2) определения 16.1 и условия (2) определения 16.4, что
и, следовательно, из условия (3) определения 16.4, что
Это противоречило бы условию (2) определения 16.1. Аналогично, мы видим на основании условия (1) определения 16.1, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к множеству N всех игроков. Итак, если один исход предпочтительней другого по отношению к множеству Т, то Т должно содержать не менее 2 и не более Из условия (3) определения 16.4 очевидно, что исход не может быть предпочтительней самого себя (по отношению к любому множеству Т). Далее, для любого фиксированного множества Т соотношение предпочтения по отношению к Т транзитивно, то есть, если
и
то также
Итак, соотношение предпочтения по отношению к фиксированному множеству Т есть так называемое «частичное упорядочение». Это не есть «полное упорядочение», так как обычно будут существовать исходы, из которых ни один не предпочтительней другого; так, например, в существенной игре трех лиц в приведенной форме ни один из исходов
не предпочтительней другого по отношению к множеству {1, 2}. Однако, рассматривая соотношение предпочтения вообще (то есть когда предпочтение рассматривается не по отношению к фиксированному множеству Т), мы имеем более сложную ситуацию. В этом случае также справедливо, что никакой исход не предпочтительней самого себя, но соотношение предпочтения уже не транзитивно. Так, например, рассмотрим следующие три исхода:
для существенной игры трех лиц в приведенной форме. Мы видим, что
и
так что
и
но с другой стороны, мы видим, что соотношение
неверно. В самом деле, можно даже привести пример игры пяти лиц с двумя исходами, из которых каждый предпочтительней другого.
|
1 |
Оглавление
|