ГЛАВА XVI. РЕШЕНИЯ ИГР n ЛИЦ

1. Исход

Как было указано, в играх n лиц мы интересуемся вопросами о том, какие коалиции могут быть образованы и что будет уплачено каждому игроку (после производства побочных платежей) в случае образования данной коалиции. Выигрыши нескольких игроков данной коалиции и побочные платежи можно представить как вектор где есть сумма, которую получает i-й игрок.

Но поскольку игра имеет нулевую сумму, так что деньги не создаются и не уничтожаются, очевидно, выигрыши игроков должны в сумме давать нуль, то есть

Мы замечаем далее, что такой вектор может быть реализован только в том случае, если для каждого i мы имеем:

так как игрок i может позаботиться о том, чтобы получить самостоятельно (то есть если даже он не может убедить какого-либо другого игрока сотрудничать с ним), и поэтому он наверное отвергнет любую систему распределения, которая даст ему меньше, чем .

Поскольку мы часто будем говорить о векторах, удовлетворяющих указанным двум условиям, уместно дать им название.

Определение 16.1. Под исходом для игры лиц с характеристической функцией v мы будем понимать вектор

такой, что

и

Замечание 16.2. Можно подумать, что второе условие нашего определения может быть усилено так, чтобы в нем говорилось, что если Т есть любое подмножество множества N, то

Но интуитивные основания этого более сильного условия не столь очевидны, как основания более слабого условия. В самом деле, хотя игроки множества Т, составив коалицию, могут быть уверены, что коллективно они получат , совсем не очевидно, что они захотят объединиться таким образом. Далее, с формальной точки зрения можно легко показать, что при таком условии класс исходов вообще будет пустым. Так, например, если бы этому условию удовлетворял исход для существенной игры трех лиц в приведенной форме, то мы имели бы

и, следовательно, поскольку ,

или

поскольку

мы имели бы отсюда

Аналогичным образом мы могли бы получить

и

а это противоречит допущению, что ; итак, для этой игры не существовало бы исхода.

Замечание 16.3. Легко убедиться, что множество всех исходов для игры лиц есть выпуклое подмножество -мерного евклидова пространства. Поэтому если имеются два различные исхода для данной игры, то имеется бесконечное число исходов. Мы замечаем, что несущественная игра имеет лишь один исход, а именно . Напротив, существенная игра имеет бесконечное число исходов.

Исход игрок i, очевидно, предпочтет исходу , если он даст ему больше, то есть если

Аналогично, подмножество Т множества N всех игроков предпочтет исход , если

Однако, если не будет иметь место соотношение

то предпочтение исхода со стороны Т будет необоснованным, так как игроки окажутся не в состоянии (без посторонней помощи) гарантировать себе, что они получат сумму, которую им позволяет получить этот исход.

Эти соображения приводят нас к понятию предпочтения. Мы имеем в виду обоснованное предпочтение со стороны непустого множества игроков, которое определяется следующим образом.

Определение 16.4. Пусть — исходы в игре, имеющей характеристическую функцию и Т — некоторое подмножество игроков.

Тогда мы говорим, что предпочтительней по отношению к Т, если выполняются следующие условия:

Когда предпочтительней по отношению к Т, мы пишем:

Если предпочтительней по отношению к любому множеству Т, то мы говорим, что предпочтительней и пишем:

Замечание 16.5. Интересно исследовать некоторые общие свойства соотношения предпочтения.

Из условия (1) определения 16.4 следует, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к пустому множеству. Далее, из условия (2) определения 16.1 и из 16.4 мы видим, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к множеству, состоящему из одного элемента, ибо если бы мы имели

то мы могли бы заключить из условия (2) определения 16.1 и условия (2) определения 16.4, что

и, следовательно, из условия (3) определения 16.4, что

Это противоречило бы условию (2) определения 16.1. Аналогично, мы видим на основании условия (1) определения 16.1, что один исход не может быть предпочтительней другого по отношению к множеству N всех игроков. Итак, если один исход предпочтительней другого по отношению к множеству Т, то Т должно содержать не менее 2 и не более членов.

Из условия (3) определения 16.4 очевидно, что исход не может быть предпочтительней самого себя (по отношению к любому множеству Т). Далее, для любого фиксированного множества Т соотношение предпочтения по отношению к Т транзитивно, то есть, если

и

то также

Итак, соотношение предпочтения по отношению к фиксированному множеству Т есть так называемое «частичное упорядочение». Это не есть «полное упорядочение», так как обычно будут существовать исходы, из которых ни один не предпочтительней другого; так, например, в существенной игре трех лиц в приведенной форме ни один из исходов

не предпочтительней другого по отношению к множеству {1, 2}.

Однако, рассматривая соотношение предпочтения вообще (то есть когда предпочтение рассматривается не по отношению к фиксированному множеству Т), мы имеем более сложную ситуацию. В этом случае также справедливо, что никакой исход не предпочтительней самого себя, но соотношение предпочтения уже не транзитивно. Так, например, рассмотрим следующие три исхода:

для существенной игры трех лиц в приведенной форме. Мы видим, что

и

так что

и

но с другой стороны, мы видим, что соотношение

неверно. В самом деле, можно даже привести пример игры пяти лиц с двумя исходами, из которых каждый предпочтительней другого.