6. Ограничения, налагаемые на информационные множества

Как мы видели в примере 5.6, узлы, принадлежащие данному информационному множеству, могут не находиться на одном уровне (то есть им не обязательно должно предшествовать одинаковое число узлов);

поэтому можно подумать, что не следует налагать каких-либо ограничений на узлы, принадлежащие данному информационному множеству, за исключением очевидных условий, что все они должны относиться к одному игроку и предоставлять ему одно и то же число альтернатив. Однако в действительности необходимо еще дополнительное условие, чтобы игра могла осуществиться: линия игры не должна пересекать одно и то же информационное множество больше одного раза.

Рис. 20.

Это значит, что никакая игра не может иметь такой диаграммы, как, например, на рис. 20, на которой из трех узлов А, В и. С, составляющих партию, два узла, А и С, принадлежат одному информационному множеству. Это условие исключает также возможность такой диаграммы, как изображенная на рис. 21.

Чтобы понять, почему должно быть наложено такое условие, предположим, например, что мы пытаемся составить действительную партию игры, имеющей диаграмму, представленную на рис. 21. Очевидно, для роли игрока нужно иметь двух человек, ибо если он один, то при втором выборе он вспомнит свой первый выбор и, следовательно, будет знать, в какой точке диаграммы он находится, тогда как информационное множество указывает, что он не должен этого знать.

Рис. 21.

Допустим теперь, что состоит из двух человек А и Б, которые помещены в отдельные комнаты и не могут сообщаться между собой. В начале игры судья должен пойти в одну комнату и предложить находящемуся в ней человеку выбрать число из множества {1, 2}; затем он идет в другую комнату и предлагает другому человеку выбрать число из множества . В результате игроку 1 будет уплачена сумма , где х есть первое выбранное число, у — второе, а М — некоторая действительная функция, определенная на декартовом произведении множества {1, 2} на себя.

Игрокам А и В не разрешается сообщаться между собой во время игры, но мы предположим, что перед началом игры они встретились, чтобы договориться о том, как им следует поступать. Они должны решить, выберут ли они оба 1 или 2, или А выберет 1, а В—2, или А выберет 2, а В—1. Игроки не знают, кого выберет судья сначала, А или В, и поэтому не знают, будет ли число, выбранное игроком А, называться «x» или «y»; причем, конечно, вовсе не обязательно будет . В действительности, они даже не знают вероятности того, что судья выберет сперва А; поэтому им невозможно вычислить ожидаемый платеж в случае, если А выберет х, а В выберет у. Если а есть вероятность того, что судья выберет сперва А, то математическое ожидание выигрыша равно

Можно подумать, что затруднений такого рода можно мвбежать, рассматривая абстрактные игры, то есть игры не людей, а каких-то машин, не имеющих памяти. В этом случае получим: если машина установлена так, чтобы выбрать правую альтернативу в изображенной выше игре, она выберет эту альтернативу оба раза и, следовательно, закончит партию в ; если она установлена на выбор левой альтернативы, она обязательно закончит партию в . Следовательно, — и это является непреодолимым препятствием — узлы и никогда не будут достигнуты, и их можно с таким же успехом исключить из диаграммы.

Таким образом, оказывается невозможным найти реализацию игры, соответствующей рис. 21, в которой игроки знали бы ожидаемые последствия, если они поступят тем или иным образом. Поэтому мы не будем рассматривать такие диаграммы, то есть определим игру так, чтобы она не имела подобной диаграммы.

Библиографические замечания

Подробное описание игр в развернутой форме приведено в книге фон Неймана и Моргенштерна [92]. Мы в своем изложении опирались на формулировки, приве денные в работе Куна [63].