Упражнения

1. Применяя методы, изложенные в этой главе, найдите все решения игр со следующими матрицами:

2. Найдите все решения игры, имеющей матрицу

Используйте при этом понятие превосходства и примените методы, изложенные в этой главе, для матрицы порядка 3x3.

3. Покажите, что игра с матрицей

где , имеет единственное решение. Найдите его и цену игры. Каково будет решение, если ?

4. Пусть —прямоугольная игра, имеющая матрицу

При каких значениях с множество будет бесконечным? При каких значениях с множество будет бесконечным? Покажите, что для всех с.

5. Покажите, что игра с матрицей

имеет единственное решение.

6. Покажите, что если элементы матрицы некоторой игры суть целые числа, цена игры есть рациональное число.

7. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша для прямоугольной игры Г с матрицей порядка — элементы множества ; Y — элемент множества принадлежит множеству . Покажите, что

8. Найдите все решения двухпальцевой Морра, описанной в разделе 3 главы I.

Рис. 4.

Рис. 5.

9. Сетевая игра определяется следующим образом: имеются n точек; некоторые пары этих точек соединены стрелками, как показано на рис. 4. Оба игрока одновременно выбирают по точке; если они выбирают одну и ту же точку или разные, но не соединенные стрелкой, платеж равен нулю: если они выбирают связную пару точек, то игрок, выбравший острие стрелки, получает от своего противника 1.

Рис. 6.

Рис. 7.

Решите сетевую игру, соответствующую рис. 5.

10. Решите сетевую игру (см. предыдущий пример), соответствующую рис. 6 и рис. 7.

11. Найдите наилучшую стратегию для каждого игрока в прямоугольной игре, имеющей матрицу

12. Покажите, что каждый игрок во всякой прямоугольной игре имеет по меньшей мере одну наилучшую стратегию.

13. Покажите, что множество наилучших стратегий данного игрока замкнуто.