2. Исходы и решения

Как и в случае игр с нулевой суммой, введем понятие упорядоченной системы действительных чисел для обозначения распределения денег между игроками в конце партии. Как и раньше, нам не нужно рассматривать распределения, при которых кто-нибудь из игроков получает меньше, чем он мог получить без посторонней помощи; поэтому мы налагаем условие

Далее, поскольку мы допускаем соглашения и подобные платежи между игроками, представляется уместным рассматривать лишь такие распределения что

В самом деле, игроки, очевидно, могут совместно позаботиться о том, чтобы получить составив коалицию, так сказать, «против природы». А если было бы предположено такое распределение, что

то можно было бы указать способ игры и способ распределения платежей в конце партии, который даст игроку больше, чем а именно, такой способ игры, что каждый игрок получит

Поэтому мы Определяем исход для игры общего вида следующим образом:

Определение 17.6. Исходом игры общего вида, имеющей характеристическую функцию v, мы называем вектор

такой, что

и

Замечание 17.7. В том случае, если игра общего вида оказывается игрой с нулевой суммой, мы получаем такое же понятие исхода из определения 17.6, как и из определения 16.1. В самом деле, условие (2) определения 17.6 тождественно с условием (2) определения 16.1; а если игра является игрой с нулевой суммой, мы имеем:

так что условие (1) определения 17.6 такое же, как условие (1) определения 16.1.

Мы можем теперь ввести понятия предпочтения и решения точно так же, как и в случае игр с нулевой суммой (см. определения 16.4 и 16.6). Замечания относительно этих ионятий, сделанные в главе 16, относятся естественно и к играм общего вида. В частности, остается справедливым, что S-эквивалентные игры изоморфны по отношению к предпочтению; таким образом, нам и здесь нужно рассматривать лишь приведенные формы игр.

Чтобы пояснить понятие решения, мы найдем все решения игр двух лиц в приведенной форме.

Если —характеристическая функция такой игры, то

Таким образом, характеристическая функция вполне определена, если дано и нам нужно различать лишь два случая, когда или .

Если , то v равна тождественно нулю, и игра является несущественной. В этом случае имеется лишь один исход, а именно , а множество, состоящее из него, есть решение (очевидно, единственное возможное).

Если то имеется бесконечное число решений, а именно, множество всех пар таких, что

и

Итак, исход есть любая упорядоченная пара вида где . Но мы замечаем, что ни один исход не может быть предпочтен другому; это можно видеть из рассмотрения различных возможных множеств игроков. Так, например, если бы мы имели

то мы получили бы

и, следовательно,

что противоречит условию, что есть исход.

Итак, множество всех исходов также есть решение и, очевидно, единственное.

Отсюда следует, что решение существенной игры двух лиц (общего вида) в неприведенной форме есть множество всех пар где удовлетворяют условиям

Истолкование этого результата для игры двух лиц с ненулевой суммой следующее: игроки должны найти способ игры, который обеспечит им максимальную сумму выигрышей, а затем разделить между собой эту сумму таким образом, чтобы каждый получил по меньшей мере то, что он мог бы получить при «самостоятельной» игре, когда другой игрок стремился бы причинить ему возможно больше вреда. Помимо этого последнего условия, теория не указывает способа, как нужно разделить выигрыши.

Пример 17.8. Рассмотрим игру двух лиц, в которой у каждого игрока имеются две стратегии и в которой платежные матрицы следующие:

(так, например, если игрок 1 выбирает свою первую стратегию, а игрок 2 — свою вторую стратегию, то первый игрок получает —2, а второй игрок получает 3).

Но есть цена игры с нулевой суммой, имеющей матрицу

Итак,

Игрок 1 может быть уверен, что, применяя смешанную стратегию он получит по меньшей мере . Подобно этому есть цена игры с нулевой суммой, имеющей матрицу

Итак,

Игрок 2, применяя смешанную стратегию , может с гарантией получить по меньшей мере .

Для отыскания мы просто берем максимальное значение сумм соответствующих элементов двух первоначально данных матриц:

Наконец,

Следовательно, решение этой игры есть множество всех пар таких, что

Таким образом, игроки могут рассчитывать на то, что они получат

где — число, лежащее между 0 и 1, которое определяется переговорами между игроками.

Можно также найти все решения игры трех лиц с ненулевой суммой. Это исследование не слишком трудное, но мы его опустим. Вместо этого обратимся к критике одного из основных допущений теории фон Неймана.

Следует заметить, что вся теория фон Неймана для игр общего вида основана на понятии характеристической функции. Это значит, что если две игры имеют одинаковые характеристические функции, то они имеют одинаковые решения. Но кажется спорным, является ли это интуитивно достаточным. Связанные с этим интуитивные затруднения можно пояснить на следующем примере.

Пример 17.9. Рассмотрим игру двух лиц в прямоугольной форме, в которой у первого игрока имеется лишь одна (чистая) стратегия, а у второго — две стратегии. Платежные матрицы игры таковы:

Таким образом, если второй игрок применяет стратегию 1, то первый игрок получает 0, а второй игрок —1000; если он применяет стратегию 2, то первый игрок получает 10, а второй игрок получает 0 (это, конечно, игра с ненулевой суммой).

Интуитивно представляется обоснованным предположение, что игрок 1 находится в лучшем положении, чем игрок 2. В самом деле, если игрок 2 хочет поступать так, чтобы добиться максимальной величины своего выигрыша, то он выберет стратегию 2 и получит 0 вместо — 1000, и в этом случае игрок 1 получит 10. Можно, конечно, подумать, что игрок 2 сможет получить от игрока 1 некоторую долю от этой суммы 10, угрожая применить стратегию 1, которая приведет к уменьшению выигрыша игрока 1 с 10 до 0; но ввиду того, что игрок 2 сам потеряет слишком много, если он выполнит свою угрозу (действительно, он потеряет гораздо больше, чем игрок 1), маловероятно, чтобы игрок 1 принял угрозу всерьез. Угрожая таким образом, игрок 2 уподобится рабочему, который сказал бы своему хозяину: «Поскольку вы получаете прибыль от моего труда, я требую, чтобы вы разделили эту прибыль со мной; если вы откажетесь, я изувечу себя так, что впредь я буду не в состоянии работать, и вы не получите от меня никакой прибыли», рабочий вряд ли мог бы ожидать чего-нибудь другого, кроме отказа такому требованию.

Однако для нашей цели даже не обязательно говорить, что игрок 1 сможет сохранить всю сумму 10; наше положение будет доказано, если мы признаем, что игроки 1 и 2 находятся не в одинаковых условиях, так что игрок 1 сможет сохранить больше 5. Возможно, правильная постановка этой интуитивной задачи — это спросить себя, будет ли нам безразличным при игре в эту игру взять на себя роль игрока 1 или роль игрока 2.

Большинство предпочтут быть игроком 1, и даже большинство заплатили бы деньги, чтобы быть игроком 1, а не игроком 2.

Если признается, что в этой игре игрок 1 в лучшем положении, чем игрок 2, то ясно, что всякое «решение» игры должно быть определено так, чтобы отразить эту асимметрию.

Но для решения в смысле фон Неймана это не выполняется, ибо, как мы видели, решение определяется полностью через характеристическую функцию, а характеристическая функция этой игры симметрична относительно первого и второго игрока; действительно, легко проверить, что характеристическая функция v такова:

Таким образом, решение этой игры в смысле фон Неймана есть множество всех упорядоченных пар , где — неотрицательные числа, сумма которых равна 10.

Библиографическое замечание

Материал этой главы взят в основном из работы фон Неймана и Моргенштерна [92], главы 5 и 6.