ГЛАВА X. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ИГР

1. Цена непрерывной игры

Обратимся теперь к определению цены непрерывной игры и оптимальных смешанных стратегий для обоих игроков. Мы докажем, что при непрерывной платежной функции эти величины всегда существуют.

Предположим, что М есть платежная функция непрерывной игры, и пусть выбирает х из [0, 1] согласно функции распределения F, а выбирает у из [0, 1] согласно функции распределения G. Тогда для любого заданного у математическое ожидание выигрыша у игрока будет

и, следовательно? поскольку у выбрано по функции распределения G, общее математическое ожидание выигрыша у будет

Это можно написать просто так:

Положив

мы тем самым говорим, что математическое ожидание выигрыша для если применяет функцию распределения F, а — функцию распределения G, равно Поскольку эта игра с нулевой суммой, математическое ожидание выигрыша для равно — .

Можно показать (см. работу Брея [15]), что если М непрерывна, то

Следовательно, когда М непрерывна, мы могли бы точно так же определить :

Если оказывается, что

и

оба существуют, то, как можно убедиться (путем рассуждения, аналогичного использованному в главе I в связи с прямоугольными играми), может выбрать функцию распределения так, чтобы быть уверенным, что он получит по меньшей мере может выбрать такую функцию распределения, которая воспрепятствует игроку получить больше чем . Если равны, то может получить в точности и не может надеяться получить больше, если только не совершает глупостей. Поэтому вопрос о том, когда существуют и равны между собой, очень важен для теории игр.

Когда величины существуют и равны между собою, мы называем их общее значение ценой игры (для ). В этом случае, как было показано в теореме 1.5, существует седловая точка функции , то есть имеется пара функций распределения и таких, что для всех функций распределения F и G

Такая или такая называется оптимальной смешанной стратегией соответственно для или . Мы называем иногда упорядоченную пару оптимальных стратегий обоих игроков решением игры.