ГЛАВА XVII. ИГРЫ, В КОТОРЫХ СУММА ВЫИГРЫШЕЙ МОЖЕТ БЫТЬ НЕ РАВНА НУЛЮ. ТЕОРИЯ ФОН НЕЙМАНА — МОРГЕНШТЕРНА

1. Характеристические функции

До сих пор мы рассматривали лишь игры с нулевой суммой, то есть игры, в которых сумма математических ожиданий выигрышей игроков равна нулю. Хотя салонные игры часто относятся к этому виду, игры с ненулевой суммой (как было упомянуто в главе I) очень важны с точки зрения применений в экономике. Так, например, если мы рассматриваем взаимодействие профессионального союза и промышленной фирмы как игру двух лиц, то, очевидно, эта игра не есть игра с нулевой суммой, так как некоторые действия (например, соглашение о договоре) выгодны обеим сторонам. Поэтому теория игр с ненулевой суммой занимает чрезвычайно важное место в развитии общественных наук.

Эта глава будет посвящена изучению игр, в которых условие нулевой суммы может не выполняться. Но поскольку нежелательно исключать из рассмотрения игры с нулевой суммой, мы будем применять выражение «игры общего вида» для обозначения игр как с нулевой, таки с ненулевой суммой; мы будем говорить просто «игра» вместо «игра общего вида», когда это не может привести к недоразумениям.

К сожалению, оказывается, что несмотря на большое значение игр общего вида для общественных наук, до сих пор не существует исследования тайих игр, которое можно было бы считать достаточно удовлетворительным.

Не будем давать полного изложения теорий, разработанных в этой области, ограничимся лишь кратким очерком теории фон Неймана и Моргенштерна.

При рассмотрении игр общего вида очевидно, прежде всего, что нам нужно рассматривать лишь игры в прямоугольной форме. В самом деле, введя понятие стратегии, мы всегда можем привести всякую игру общего вида к игре в прямоугольной форме.

Таким образом, игра лиц общего вида с игроками будет полностью задана, если мы опишем множеств из которых игроки производят выборы, и платежных функций Партия игры состоит в следующем: игрок выбирает элемент из множества и сообщает свой выбор судье (но не другим игрокам); после того как выборы сделаны, судья уплачивает игроку сумму

Если каждое из множеств конечно, мы называем самую игру конечной. Игра есть игра с нулевой суммой, если в тех случаях, когда принадлежит декартовому произведению множеств мы имеем:

В дальнейшем мы обычно не будем предполагать, что это равенство выполняется.

С некоторой точки зрения можно рассматривать игру лиц общего вида как особый вид игры лица. Действительно, пусть у нас имеется игра лиц общего вида с игроками множествами для выбора и платежными функциями возьмем произвольное множество и определим функцию положив для любого элемента из произведения

Тогда мы можем рассматривать как множества для выбора и платежные функции игры +1 лица с игроками кроме того, из способа, которым была определена мы сразу видим, что эта новая игра есть игра с нулевой суммой.

Конечно, отсюда не следует, что это построение позволяет нам одним шагом привести теорию игр общего вида к играм с нулевой суммой, ибо построенная выше игра лица имеет некоторые особые свойства. Прежде всего, значения которые принимают платежные функции, не зависят от выбора, производимого игроком и, что более существенно, игрока и поскольку он является лишь математической фикцией по отношению к первоначальной игре, нельзя представлять себе как вступающего в коалиции или производящего побочные платежи. Тем не менее это представление игры лиц общего вида как игры +1 лица с нулевой суммой приносит некоторую формальную пользу.

Пусть — игра лиц общего вида и — введенное выше ее представление как игры +1 лица с нулевой суммой. Из выводов главы XV мы видим, что имеет характеристическую функцию, то есть имеется действительная функция v, определенная на всех подмножествах множества игроков игры и такая, что v(Т) для всякого подмножества Т множества изображает сумму, которую могут выиграть игроки подмножества Т, если они объединяются в коалицию. Указанная функция v тем более определена на множестве игроков первоначальной игры, и для любого подмножества Т множества также изображает сумму, которую могут выиграть игроки подмножества Т, если они составят коалицию. Мы называем такую функцию v (когда ее независимые переменные ограничены подмножествами множества характеристической функцией первоначальной игры .

Легко показать, что если — игра с нулевой суммой, то характеристическая функция игры , определенная выше, тождественна с характеристической функцией, определенной в главе XV.

Итак, наше новое определение совместимо с прежним определением, и мы можем говорить о характеристических функциях игр вообще, независимо от того, с нулевой или ненулевой суммой наши игры.

Мы имеем далее следующую теорему.

Теорема 17.1. Если -характеристическая функция игры (общего вида) с игроками то

1)

2) если R и Т — непересекающиеся подмножества множестве то

Кроме того, если v — любая действительная функция, определенная на классе всех подмножеств множества и удовлетворяющая условиям (1) и (2), то существует игра (общего вида) Г, имеющая характеристическую функцию v.

Доказательство. Если v — характеристическая функция игры общего вида с игроками то по определению существует игра с нулевой суммой и игроками такая, что характеристическая функпия v игры удовлетворяет равенству

По условию (1) леммы 15.2 мы видим, что

а из условия (3) теоремы 15.1, если R и Т суть непересекающиеся подмножества множества (и тем более если они непересекающиеся подмножества множества ), мы имеем:

Первая часть теоремы вытекает из соотношений (2) и (3) при наличии равенства (1).

Чтобы доказать вторую часть теоремы, предположим, что V — любая действительная функция, определенная на классе всех подмножеств множества и удовлетворяющая условиям (1) и (2). Мы определяем функцию на классе всех подмножеств множества следующим образом:

Из (4) и из определения характеристической функции игры общего вида мы видим, что остается показать, что v есть характеристическая функция игры лица с нулевой суммой. В самом деле, на основании теоремы 15.3 достаточно показать, что v удовлетворяет трем условиям теоремы 15.1. Но на основании условия (1) и соотношения (5) сразу следует, что v удовлетворяет условию (1) теоремы 15.1; а из (5) непосредственно вытекает, что v удовлетворяет условию (2) теоремы 15.1. Далее, если ни R, ни Т не содержат , то условие (3) теоремы 15.1 следует прямо из условия (2) и из (4); а если и R, и Т содержат , то условие (3) теоремы 15.1 тривиально верно. Поэтому достаточно показать, что условие (3) теоремы 15.1 выполняется, если n+1 принадлежит одному из множеств R или Т, но не принадлежит другому. Не нарушая общности, мы можем предположить, что

Множества суть непересекающиеся подмножества множества следовательно, на основании условия (2)

Поскольку R и Т не пересекаются, и, следовательно,

(9)

Из (8) и (9) имеем:

и, следовательно, на основании (5) и (4)

Из (10) путем перестановки членов мы заключаем, что

что и требовалось доказать.

Теперь можно перенести понятие S-эквивалентности и интуитивные доводы, служащие для его обоснования, с игр с нулевой суммой на игры общего вида.

Определение 17.2. Две характеристические функции лиц (для игр лиц общего вида) v и v' называются S-эквивалентными, если существует положительная константа чисел таких, что для всякого подмножества Т множества

Замечание 17.3. Поскольку мы уже не ограничиваемся играми с нулевой суммой, нам нет необходимости при определении S-эквивалентности налагать ограничение, что

Поэтому нужно заметить, что определение 17.2 несколько расширяет класс игр, S-эквивалентных данной игре с нулевой суммой, по сравнению с определением 15.5 (и замечанием, следующим за теоремой 15.7).

В самом деле, игры с нулевой суммой по новому определению могут быть S-эквивалентны играм с постоянной суммой, то есть играм, у которых характеристические функции удовлетворяют условию

для всякого подмножества Т множества N. Во избежание связанных с этим недоразумений мы будем впредь всегда применять термин «S-эквивалентность» в смысле определения 17.2.

Следующее понятие приведенных форм игр общего вида, очевидно, совпадает с понятием приведенных форм игр с нулевой суммой, определенным в 15.8.

Определение 17.4. Игра n лиц общего вида с характеристической функцией v называется игрой в приведенной форме, если

где либо либо и, кроме того,

Мы называем модулем функции V.

Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 15.12.

Теорема 17.5. Если -характеристическая функция какой-либо игры общего вида, то v S-эквивалентна одной и только одной характеристической функции в приведенной форме.

Как и в случае игр с нулевой суммой, мы называем игру общего вида существенной, если она S-эквивалентна игре в приведенной форме с модулем — 1; в противном случае она называется несущественной.