Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА XVII. ИГРЫ, В КОТОРЫХ СУММА ВЫИГРЫШЕЙ МОЖЕТ БЫТЬ НЕ РАВНА НУЛЮ. ТЕОРИЯ ФОН НЕЙМАНА — МОРГЕНШТЕРНА1. Характеристические функцииДо сих пор мы рассматривали лишь игры с нулевой суммой, то есть игры, в которых сумма математических ожиданий выигрышей игроков равна нулю. Хотя салонные игры часто относятся к этому виду, игры с ненулевой суммой (как было упомянуто в главе I) очень важны с точки зрения применений в экономике. Так, например, если мы рассматриваем взаимодействие профессионального союза и промышленной фирмы как игру двух лиц, то, очевидно, эта игра не есть игра с нулевой суммой, так как некоторые действия (например, соглашение о договоре) выгодны обеим сторонам. Поэтому теория игр с ненулевой суммой занимает чрезвычайно важное место в развитии общественных наук. Эта глава будет посвящена изучению игр, в которых условие нулевой суммы может не выполняться. Но поскольку нежелательно исключать из рассмотрения игры с нулевой суммой, мы будем применять выражение «игры общего вида» для обозначения игр как с нулевой, таки с ненулевой суммой; мы будем говорить просто «игра» вместо «игра общего вида», когда это не может привести к недоразумениям. К сожалению, оказывается, что несмотря на большое значение игр общего вида для общественных наук, до сих пор не существует исследования тайих игр, которое можно было бы считать достаточно удовлетворительным. Не будем давать полного изложения теорий, разработанных в этой области, ограничимся лишь кратким очерком теории фон Неймана и Моргенштерна. При рассмотрении игр общего вида очевидно, прежде всего, что нам нужно рассматривать лишь игры в прямоугольной форме. В самом деле, введя понятие стратегии, мы всегда можем привести всякую игру общего вида к игре в прямоугольной форме. Таким образом, игра
Если каждое из множеств
В дальнейшем мы обычно не будем предполагать, что это равенство выполняется. С некоторой точки зрения можно рассматривать игру
Тогда мы можем рассматривать Конечно, отсюда не следует, что это построение позволяет нам одним шагом привести теорию игр общего вида к играм с нулевой суммой, ибо построенная выше игра Пусть Легко показать, что если Итак, наше новое определение совместимо с прежним определением, и мы можем говорить о характеристических функциях игр вообще, независимо от того, с нулевой или ненулевой суммой наши игры. Мы имеем далее следующую теорему. Теорема 17.1. Если 1) 2) если R и Т — непересекающиеся подмножества множестве
Кроме того, если v — любая действительная функция, определенная на классе всех подмножеств множества Доказательство. Если v — характеристическая функция игры общего вида
По условию (1) леммы 15.2 мы видим, что
а из условия (3) теоремы 15.1, если R и Т суть непересекающиеся подмножества множества
Первая часть теоремы вытекает из соотношений (2) и (3) при наличии равенства (1). Чтобы доказать вторую часть теоремы, предположим, что V — любая действительная функция, определенная на классе всех подмножеств множества
Из (4) и из определения характеристической функции игры общего вида мы видим, что остается показать, что v есть характеристическая функция игры
Множества
Поскольку R и Т не пересекаются,
Из (8) и (9) имеем:
и, следовательно, на основании (5) и (4)
Из (10) путем перестановки членов мы заключаем, что
что и требовалось доказать. Теперь можно перенести понятие S-эквивалентности и интуитивные доводы, служащие для его обоснования, с игр с нулевой суммой на игры общего вида. Определение 17.2. Две характеристические функции
Замечание 17.3. Поскольку мы уже не ограничиваемся играми с нулевой суммой, нам нет необходимости при определении S-эквивалентности налагать ограничение, что
Поэтому нужно заметить, что определение 17.2 несколько расширяет класс игр, S-эквивалентных данной игре с нулевой суммой, по сравнению с определением 15.5 (и замечанием, следующим за теоремой 15.7). В самом деле, игры с нулевой суммой по новому определению могут быть S-эквивалентны играм с постоянной суммой, то есть играм, у которых характеристические функции удовлетворяют условию
для всякого подмножества Т множества N. Во избежание связанных с этим недоразумений мы будем впредь всегда применять термин «S-эквивалентность» в смысле определения 17.2. Следующее понятие приведенных форм игр общего вида, очевидно, совпадает с понятием приведенных форм игр с нулевой суммой, определенным в 15.8. Определение 17.4. Игра n лиц общего вида с характеристической функцией v называется игрой в приведенной форме, если
где либо либо
Мы называем Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 15.12. Теорема 17.5. Если Как и в случае игр с нулевой суммой, мы называем игру общего вида существенной, если она S-эквивалентна игре в приведенной форме с модулем — 1; в противном случае она называется несущественной.
|
1 |
Оглавление
|