Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА V. ИГРЫ В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ1. Нормальная и развернутая формыВыше мы успешно рассмотрели решение прямоугольной игры двух лиц, то есть дали интуитивно приемлемое определение цены и оптимальных стратегий для такой игры, доказали, что решения всегда существуют, и даже показали, как их можно вычислить. Но рассуждения, к которым мы прибегали, хотя большей частью и элементарны, не всегда вполне тривиальны; и читателя, возможно, пугает задача распространения этих выводов на игры более общего вида, то есть с числом игроков >2 и такие, в которых некоторые ходы, возможно, связаны с применением случайных механизмов, игроки могут иметь по нескольку ходов каждый, и знание о ранее происшедшем может меняться от хода к ходу. Однако положение не так уж плохо, как может показаться с первого взгляда, ибо оказывается, что задача решения игры, в которой игроки делают выборы из конечных множеств (мы будем называть такие игры конечными), всегда тождественна с задачей решения некоторой прямоугольной игры. Поэтому наши выводы о прямоугольных играх можно применить в более общем виде к любой игре двух лиц с нулевой суммой. Этот процесс отыскания прямоугольной игры, эквивалентной некоторой произвольной игре, называется нормализацией, а получающаяся прямоугольная игра называется игрой в нормальной форме; когда нужно провести различие между этими видами игр, мы будем называть произвольные игры играми в развернутой форме. Начнем с примера игры в развернутой форме. Пример 5.1. Ход I. Игрок Ход II. Игрок Ход III. Игрок После того как были выбраны три числа
Чтобы объяснить, как привести игру к прямоугольной форме, введем общее понятие стратегии, которое мы рассматривали до сих пор лишь для прямоугольных игр. Стратегией данного игрока в данной игре мы назовем полный набор указаний, которые говорят ему, как нужно поступить во всех мыслимых ситуациях или, вернее говоря, при любом мыслимом состоянии информации, которую он может иметь а любой момент партии. Так, например, одна из стратегий, которую может применять Легко видеть, что у игрока Если мы обозначим через
то четыре стратегии игрока С другой стороны, стратегия игрока
где
то это значит, что В этой игре описанные нами стратегии игрока (Следовательно, это «2» говорит игроку Но наличие этих избыточных сведений не приносит существенного вреда, а описание стратегий для общего случая весьма усложнится, если мы будем пытаться всегда избегать их. Полный разбор этого вопроса смотрите в работе Крентеля, Мак-Кинси и Куайна [61] и в работе Дэлки [22]. Выбрать возможную стратегию для игры и затем играть согласно этой стратегии — это. равносильно тому, чтобы составить все возможные решения перед началом игры. Как только каждый игрок выбрал стратегию, никаких других выборов ему не нужно делать, ибо стратегия предопределяет поведение игрока во все такие моменты игры, когда он должен был бы принимать решения, если бы он не выбрал стратегию. Выбор стратегии определяет исход игры, так что саму игру могла бы провести вычислительная машина. Предположим, что в рассматриваемой игре игрок
а игрок Матрица 1 (см. скан) Эта матрица имеет седловые точки, которые отмечены звездочками. Цена игры для
является оптимальной для
|
1 |
Оглавление
|