Упражнения

1. Найдите цену игры и оптимальную стратегию для S, если в матрице примера .

2. Покажите с помощью матрицы 1 примера 13.1, что любая оптимальная стратегия для S в примере 13.1 должна всегда приписывать частоту 0 стратегии VII. Каков интуитивный смысл этого факта?

3. Покажите, что если , то в матрице 1 примера 13.1 имеется оптимальная стратегия для природы, приписывающая стратегии 1 частоту 0.

4. Покажите, что если то матрица 1 не имеет седловой точки.

5. В примере 13.1 мы предположили, что платежи статистику S за правильные или неправильные предположения определяются верхней матрицей, где 0, 1 и 2 в левом столбце указывшт число черных шаров, находящихся в урне по предположению S, а числа в верхней строке указывают число черных шаров, действительно находящихся в урне; так, если S предполагает, что один шар черный, а на самом деле два черных, то он получит ; однако может случиться, что платежи (или штрафы) различны, в зависимости от того, является ли предполагаемое число слишком большим или слишком малым. Так, допустим, что платежи определяются нижней матрицей.

Найдите в этом случае платежную матрицу (соответствующую матрице 1). Найдите цепу игры и оптимальную стратегию для S, когда .

6. Во многих случаях оказывается, что стоимость двукратного испытания возрастает по сравнению со стоимостью однократного испытания меньше чем в два раза. Как изменится матрица 1, если испытать один шар стоит , а испытать два шара стоит .

7. Сформулируйте задачу, аналогичную примеру 13.1, для случая, когда урна содержит три шара, и напишите матрицу, соответствующую матрице 1 (она будет иметь 19 строк и 4 столбца). Найдите оптимальные стратегии для S при некоторых типичных - значениях параметров.

8. Сформулируйте задачу, аналогичную примеру 13.1, для случая, когда урна содержит два шара, каждый из которых может быть черным, белым или красным, и напишите матрицу 1 (она будет иметь 34 строки и 6 столбцов). Найдите оптимальные стратегии для S при некоторых типичных значениях параметров.

9. Найдите оптимальную стратегию для М в примере 13.4, если .

10. Покажите, что при у природы имеется оптимальная стратегия, приписывающая столбцам 2 и 3 частоту .

И. При каких значениях параметров матрица 5 будет иметь седловую точку?

12 Предприниматель М должен произвести некоторое изделие для потребителя А. Потребитель согласен заплатить предпринимателю М некоторую сумму за изделие, произведенное соответственно некоторым общим техническим условиям. После того как изделие передано А, если А признает ого удовлетворительным, он должен уплатить М дополнительную сумму а; если оно неудовлетворительно, М должен уплатить А штраф . М может подвергнуть изделие двум независимым испытаниям таким, что если изделие проходит оба испытания, А признает его удовлетворительным. Стоимость одного испытания для М составляет , а стоимость другого испытания составляет . Мы полагаем, что . Перечислите возможные стратегии для М и напишите матрицу, аналогичную матрице 5 примера 13.4. Найдите оптимальные стратегии для М при некоторых типичных значениях параметров.

13. Предположим, что в ситуации, соответствующей матрице 2, статистик знает из прошлого опыта, что вероятность того, что нет и одного черного шара, не больше . Найдите цену игры и оптимальную стратегию для S.