4. Игры с ненулевой суммой и игры n лиц

В настоящее время в теории игр наиболее остро ощущается необходимость в более удовлетворительной теории игр с ненулевой суммой и игр лиц (для ).

Теория фон Неймана в лучшем случае рассматривает лишь довольно частный вид таких игр: игры, в которых допускаются соглашения, переговоры и побочные платежи между игроками. Конечно, в действительности многие ситуации, к которым мы хотели бы применять теорию игр, не относятся к этому виду. Так, если мы хотим рассматривать поведение трех акционерных обществ как игру, мы сталкиваемся с тем, что закон, направленный против трестов, запрещает им составлять коалицию. (Иногда говорят, что такую ситуацию по существу следует рассматривать как игру четырех лиц, в которой правительство представляет четвертого игрока; но подход к этой более широкой ситуации как к игре привел бы, между прочим, к странному допущению, что правительство может вступать в коалицию с частной фирмой.) Кроме того, коалиции и побочные платежи запрещены и в большинстве салонных игр.

В связи с этим следует заметить, что Нэш различает некооперативные и кооперативные игры. В первых играх между игроками не допускается никакой связи, в частности им не разрешено составлять соглашения о побочных платежах; в кооперативной игре связь допустима.

Нэш считает некооперативные игры основными и пытается свести кооперативные игры к некооперативным следующим образом: переговоры кооперативной игры включаются как формальные ходы в некооперативную игру (эти ходы состоят, например, из таких действий, как предложение побочного платежа одним игроком другому).

В свою очередь он исследует некооперативные игры, вводя понятие точки равновесия (это понятие было объяснено в главе VI настоящей книги).

Нужно заметить, что теория Нэша хотя и представляет значительный шаг вперед, имеет некоторые серьезные недостатки, и, конечно, ее нельзя рассматривать как окончательное решение принципиальных задач этой области.

Во-первых, что касается некооперативной игры, то знание положения точек равновесия может не принести особенной пользы. Так, рассмотрим игру двух лиц (с ненулевой суммой), имеющую следующие матрицы:

Поскольку мы видим, что имеется точка равновесия в верхнем левом углу (так что, если применяет первую строку, то для самое лучшее применять первый столбец; и обратно, если применяет первый столбец, то для самое лучшее применять первую строку). Подобно этому, поскольку , имеется точка равновесия также в нижнем правом углу. В данном случае предпочтет, конечно, точку равновесия в верхнем левом углу, а предпочтет точку равновесия в. нижнем правом углу. Теория Нэша, по-видимому, не проливает света на вопрос о том, как вести себя в игре, имеющей такую пару платежных матриц.

Во-вторых, если бы даже теория некооперативных игр и была в удовлетворительном состоянии, возникают трудности при приведении кооперативных игр к некооперативным. На практике чрезвычайно трудно ввести в кооперативные игры ходы, соответствующие переговорам, так, чтобы отразить все бесконечное разнообразие, допустимое в кооперативной игре, в то же время не давая одному из игроков искусственного преимущества (скажем, вследствие того, что он имеет возможность сделать предложение первым). Поэтому, несмотря на все остроумие, проявленное при различных подходах к задаче игр лиц и игр с ненулевой суммой, мы, по-видимому, еще не пришли к удовлетворительному понятию решения такой игры.

Это ставит перед математиками настоятельную и очень важную задачу, вызванную необходимостью применения теории игр к очень широкому классу практических ситуаций.

Библиографические замечания

Первая и вторая задачи этой главы были поставлены в работе Хельмера [49]. Относительно других нерешенных задач в теории игр смотрите работу Куна и Таккера [65].

Более новые работы в области игр n лиц и игр с ненулевой суммой: Ботт [14] и Шепли [99] (последняя статья дает решение задачи (10) Куна и Таккера [65] ). Смотрите также работы Нэша [84] и Райффа [95]