2. Некоторые свойства матриц

В утверждениях и доказательствах следующих двух лемм мы будем широко пользоваться теорией матриц.

Обозначим через матрицу порядка , каждый элемент главной диагонали которой равен 1, а все другие — нулю; например:

Через обозначим вектор ( т. е. матрицу, состоящую из одной строки) с n компонентами, каждая из которых равна 1; например:

Через обозначим -мерный нулевой вектор; например:

Матрицу, транспонированную по отношению к матрице А, обозначим через А'; например:

Таким образом, для любого n

есть матрица, состоящая из одного столбца:

Если A — матрица, а k — некоторое число, то скалярное произведение А на k обозначим через или например:

Произведение матриц А и В будем обозначать через А•В или просто АВ; например:

Если А — квадратная матрица порядка, то под будем понимать такую матрицу (если она существует), для которой

Матрица называется обратной к матрице А. Так, обратной матрицей к матрице

будет

Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная, т. е. когда определитель матрицы который мы обозначаем через отличен от нуля.

Если —матрица, имеющая лишь один элемент а, и если , то А есть матрица, имеющая единственный элемент 1/а. Так,

Матрица , очевидно, не имеет обратной матрицы. Если — матрица, имеющая лишь один элемент, мы будем иногда опускать двойные вертикальные линии, служащие для обозначения матрицы, и писать просто .

Пусть — квадратная матрица. Назовем присоединенной к матрице (и обозначим через ) матрицу, получающуюся при замене элемента строки и столбца матрицы А на алгебраическое дополнение элемента строки i-гo столбца. Так, например,

Если A — матрица, имеющая лишь один элемент а, то независимо от величины а мы полагаем , так что

Отметим, что для всякой квадратной матрицы существует присоединенная матрица; если А — невырождейная матрица (так что существует), то

где есть определитель матрицы А. Если 4 и В - две матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, то мы будем обозначать сумму А и В через А + В, а разность матриц А и В — через A — В. Так,

и

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению и вычитанию, так что для любых А, В и С

и

Подматрицей матрицы А мы будем называть матрицу В, которая или тождественна с А, или может быть получена из А вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Так, например, матрица

имеет следующие подматрицы:

Чтобы упростить одно из последующих доказательств, докажем следующую лемму.

Лемма 3.4. Пусть

квадратная матрица порядка r и пусть

— матрица, полученная из A путем прибавления к каждому из ее элементов некоторого действительного числа х. Тогда

Доказательство. Как легко видеть, равенство

является тождеством. Аналогичное тождество, очевидно, справедливо для произвольной строки (или столбца). Умножив первую строку определителя левой части на х и вычтя ее из каждой последующей строки, можно убедиться в справедливости следующего равенства:

Аналогичное равенство, очевидно, справедливо для произвольной строки (или столбца).

Можно легко доказать, что

Кроме того, очевидно, что равенство (8) непосредственно следует из равенства (11). Чтобы установить справедливость равенства (9), заметим, что из равенства (10) вытекает:

И, наконец, сопоставляя последнее выражение и равенство (12), получаем, что член в квадратных скобках в выражении (13) равен .