Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Некоторые свойства матрицВ утверждениях и доказательствах следующих двух лемм мы будем широко пользоваться теорией матриц. Обозначим через
Через
Через
Матрицу, транспонированную по отношению к матрице А, обозначим через А'; например:
Таким образом, для любого n
Если A — матрица, а k — некоторое число, то скалярное произведение А на k обозначим через
Произведение матриц А и В будем обозначать через А•В или просто АВ; например:
Если А — квадратная матрица
Матрица
будет
Матрица Если
Матрица Пусть
Если A — матрица, имеющая лишь один элемент а, то независимо от величины а мы полагаем
Отметим, что для всякой квадратной матрицы существует присоединенная матрица; если А — невырождейная матрица (так что
где
и
Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению и вычитанию, так что для любых А, В и С
и
Подматрицей матрицы А мы будем называть матрицу В, которая или тождественна с А, или может быть получена из А вычеркиванием некоторых строк и столбцов. Так, например, матрица
имеет следующие подматрицы:
Чтобы упростить одно из последующих доказательств, докажем следующую лемму. Лемма 3.4. Пусть
квадратная матрица порядка r и пусть
— матрица, полученная из A путем прибавления к каждому из ее элементов некоторого действительного числа х. Тогда
Доказательство. Как легко видеть, равенство
является тождеством. Аналогичное тождество, очевидно, справедливо для произвольной строки (или столбца). Умножив первую строку определителя левой части на х и вычтя ее из каждой последующей строки, можно убедиться в справедливости следующего равенства:
Аналогичное равенство, очевидно, справедливо для произвольной строки (или столбца). Можно легко доказать, что
Кроме того, очевидно, что равенство (8) непосредственно следует из равенства (11). Чтобы установить справедливость равенства (9), заметим, что из равенства (10) вытекает:
И, наконец, сопоставляя последнее выражение и равенство (12), получаем, что член в квадратных скобках в выражении (13) равен
|
1 |
Оглавление
|