Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Определение решенияМы хотим теперь рассмотреть вопрос о том, какие исходы могут возникнуть в действительных партиях игры. Сначала нам представляется следующий ответ: исход Но, к сожалению, вообще не существует такого исхода. Действительно, мы можем показать (за исключением случая несущественной игры, в которой имеется лишь один исход), что всякому исходу может быть предпочтен какой-нибудь другой исход. Пусть
ибо иначе мы имели бы по теореме 15.14
что противоречит условию (1) определения 16.1. Если мы положим
и
то легко убедиться, что Поскольку мы таким образом зашли, по-видимому, в тупик, вернемся назад и рассмотрим существенную игру трех лиц в приведенной форме. Здесь, по-видимому, имеются лишь три возможности — три способа образования коалиции. Если игроки 1 и 2 образуют коалицию, то можно вполне обоснованно предположить, что они возьмут совместно столько, сколько смогут (а именно, +1), а выигрыш игрока 3 составит, следовательно, —1. Далее, ввиду того, что игра полностью симметрична (так что ни один из игроков не находится в. более выгодном положении по сравнению с другим), мы могли бы интуитивно ожидать, что они разделят свои выигрыши поровну; следовательно, если игроки 1 и 2 объединяются, мы должны получить исход
Это множество характеризуется тем, что ни один из исходов не предпочтительней другого. Кроме того, всякому другому исходу можно предпочесть по меньшей мере один член множества А. Действительно, допустим, что
либо
Предположим, что справедливо первое из этих неравенств (если справедливо второе, доказательство аналогично), то есть
Далее, поскольку исходу
либо
Допустим опять, что справедливо первое из этих неравенств. Для другого случая доказательство аналогично. Тогда мы имеем
и
Поскольку
мы заключаем, что
и что
так что Только что установленные свойства множества А настолько важны, что уместно дать наименование множествам исходов, обладающих этими свойствами. Определение 16.6. Множество А исходов данной игры n лиц называется решением игры, если 1) ни одному элементу множества А нельзя отдать предпочтение по отношению к другому элементу множества А; 2) всякому элементу, не входящему в А, можно предпочесть некоторый элемент множества А. Замечание 16.7. В развитой фон Нейманом теории игр Интуитивное обоснование употребления слова «решение», конечно, сильно отличается от того, которое было дано для игр двух лиц. В первом случае под решением подразумевалось множество вероятностей, с которыми игроку нужно выбирать свои чистые стратегии, чтобы получить максимальный ожидаемый выигрыш. Но в случае игр Некоторых математиков не удовлетворяла интуитивная основа этого понятия, и был поднят вопрос о том, даст ли игроку знание решения данной игры Мы увидим, что эта общая задача может быть приведена к соответствующей задаче для игр в приведенной форме.
|
1 |
Оглавление
|