2. Определение решения

Мы хотим теперь рассмотреть вопрос о том, какие исходы могут возникнуть в действительных партиях игры. Сначала нам представляется следующий ответ: исход может быть реализован в партии игры, если не существует исхода р, который предпочтительней а, так как ни одно множество игроков не имело бы никакого повода к тому, чтобы сменить а на какой-нибудь другой исход; поэтому, если при заключении сделок был бы предложен исход а, то каждый понял бы, что он не может получить больше, чем ему обещает дать исход а; так было бы достигнуто соглашение.

Но, к сожалению, вообще не существует такого исхода. Действительно, мы можем показать (за исключением случая несущественной игры, в которой имеется лишь один исход), что всякому исходу может быть предпочтен какой-нибудь другой исход. Пусть — какой-нибудь исход в существенной игре лиц. Тогда существует целое число , такое, что

ибо иначе мы имели бы по теореме 15.14

что противоречит условию (1) определения 16.1. Если мы положим

и

то легко убедиться, что есть исход, который может быть предпочтен исходу по отношению к множеству .

Поскольку мы таким образом зашли, по-видимому, в тупик, вернемся назад и рассмотрим существенную игру трех лиц в приведенной форме. Здесь, по-видимому, имеются лишь три возможности — три способа образования коалиции. Если игроки 1 и 2 образуют коалицию, то можно вполне обоснованно предположить, что они возьмут совместно столько, сколько смогут (а именно, +1), а выигрыш игрока 3 составит, следовательно, —1. Далее, ввиду того, что игра полностью симметрична (так что ни один из игроков не находится в. более выгодном положении по сравнению с другим), мы могли бы интуитивно ожидать, что они разделят свои выигрыши поровну; следовательно, если игроки 1 и 2 объединяются, мы должны получить исход этому, если объединяются игроки 1 и 3, мы должны ожидать исход , а если объединяются игроки 2 и 3, - исход таким образом, мы получаем следующее множество трех исходов:

Это множество характеризуется тем, что ни один из исходов не предпочтительней другого. Кроме того, всякому другому исходу можно предпочесть по меньшей мере один член множества А. Действительно, допустим, что есть исход, который не содержится в А и которому нельзя предпочесть ни один элемент множества А. Поскольку исходу не предпочитается исход и поскольку мы заключаем, что мы должны иметь либо

либо

Предположим, что справедливо первое из этих неравенств (если справедливо второе, доказательство аналогично), то есть

Далее, поскольку исходу не предпочитается , то мы видим, что либо

либо

Допустим опять, что справедливо первое из этих неравенств. Для другого случая доказательство аналогично. Тогда мы имеем

и

Поскольку

мы заключаем, что

и что

так что , а это противоречит принятому условию.

Только что установленные свойства множества А настолько важны, что уместно дать наименование множествам исходов, обладающих этими свойствами.

Определение 16.6. Множество А исходов данной игры n лиц называется решением игры, если

1) ни одному элементу множества А нельзя отдать предпочтение по отношению к другому элементу множества А;

2) всякому элементу, не входящему в А, можно предпочесть некоторый элемент множества А.

Замечание 16.7. В развитой фон Нейманом теории игр лиц понятие «решений» в только что определенном смысле занимает центральное место. Теория состоит по существу в отыскании решений и рассмотрении их свойств.

Интуитивное обоснование употребления слова «решение», конечно, сильно отличается от того, которое было дано для игр двух лиц.

В первом случае под решением подразумевалось множество вероятностей, с которыми игроку нужно выбирать свои чистые стратегии, чтобы получить максимальный ожидаемый выигрыш. Но в случае игр лиц (для ) решение имеет целью просто указать множество возможных способов распределения выигрышей в конце партии.

Некоторых математиков не удовлетворяла интуитивная основа этого понятия, и был поднят вопрос о том, даст ли игроку знание решения данной игры лиц возможность играть в нее с большим математическим ожиданием выигрыша, чем если бы он совершенно не знал этой теории. Если бы можно было привести пример игры, не обладающей решением в смысле фон Неймана, то, очевидно, те, кто утверждает, что это понятие решения не представляет надлежащей основы для теории игр n лиц, были бы вполне правы в своей критике. Поэтому очень важно показать, что всякая игра лиц имеет решение (в данном смысле), но, к сожалению, этого не удалось пока сделать; мы знаем лишь то, что некоторые частные виды игр имеют решения (например, известно, что все игры трех лиц и все игры четырех лиц имеют решения, но этого не было показано для игр пяти лиц).

Мы увидим, что эта общая задача может быть приведена к соответствующей задаче для игр в приведенной форме.