4. Замечания и примеры

Замечание 12.7. Следует заметить, что оптимальные стратегии, существование которых было установлено в двух предыдущих теоремах, не обязательно являются единственными. Так, например, пусть

Функция М удовлетворяет условию теоремы 12.5, так что у первого игрока существует оптимальная стратегия вида

но это не единственная оптимальная стратегия для первого игрока. В самом деле, поскольку не зависит от то поведение первого игрока не влияет на платеж; поэтому для первого игрока любая стратегия является оптимальной.

Замечание 12.8. С помощью теоремы 12.6 легко найти оптимальную стратегию для второго игрока в игре, описанной в примере 12.4. Поскольку мы нашли, что для этой игры то можно заключить, что у второго игрока имеется оптимальная стратегия следующего вида:

где удовлетворяют условиям:

Поскольку единственные значения удовлетворяющие уравнению

суть 0 и 1 и поскольку

и

то мы заключаем, что . Из уравнения

мы заключаем далее, что . Поэтому оптимальной стратегией для второго игрока является функция распределения

Итак, оптимальный способ для второго игрока — выбирать 0 и 1 одинаково часто.

Пример 12.9. Теперь при помощи способов, изложенных в этой главе, мы найдем решение игры, имеющей платежную функцию

Поскольку

то функция М выпукла по у для любого х. Поэтому на основании теоремы 12.2

Кроме того, мы имеем:

откуда по теореме 12.2 мы заключаем, что единственной оптимальной стратегией для второго игрока является функция распределения

Так как функция М имеет производные всюду, то условия теоремы 12.5 выполняются. Поскольку , нам требуется найти решение уравнения

то есть уравнения

Мы сразу видим, что решение будет такое: . Ввиду того, что

мы имеем:

и

Следовательно, применяя обозначения теоремы 12.5, мы можем взять .

Решая теперь уравнение

мы находим, что . Следовательно, оптимальной стратегией для первого игрока является функция распределения

Замечание 12.10. Мы сформулировали теоремы о выпуклых функциях в довольно слабой и частной форме из тех лишь соображений, чтобы избежать слишком сложных доказательств. Положения, установленные в этой главе, можно усилить и обобщить в нескольких направлениях.

Во-первых, можно опустить в теоремах 12.5 и 12.6 условие существования производных. Но в этом случае нужно использовать то положение, что выпуклая или вогнутая функция всегда имеет обе односторонние производные в каждой точке интервала определения функции, за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда условия, наложенные в заключительных предложениях этих теорем на и , заменяются соответствующими условиями для односторонних производных в указанных точках.

Во-вторых, условие строгой выпуклости или строгой вогнутости платёжной функции можно ослабить, заменив условием, что она соответственно просто выпукла или вогнута. Но в этом случае оптимальная стратегия для второго игрока, указанная в теореме 12.2 (или для первого игрока в теореме 12.3), вообще уже не является единственной.

Наконец, выводы могут быть распространены на случай, когда игроки вместо того, чтобы выбирать просто числа из замкнутого единичного интервала, выбирают точки из -мерного единичного куба. В этом случае необходимо применять более общее понятие выпуклости (выпуклости по нескольким переменным).

Библиографические замечания

Теоремы, доказанные в этой главе, являются частными случаями более общих теорем, доказательства которых можно найти в работе Боненблуста, Карлина и Шепли [11].