Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Приведенная формаОсновные вопросы, которые мы разбирали в теории игр n лиц, — это, как было сказано выше, вопросы о том, насколько сильны будут стремления игроков образовывать коалиции и какие взносы игроки должны уплачивать друг другу при вступлении в данную коалицию. Если две игры не различаются в этом отношении (хотя бы их платежные функции и характеристические функции и были различны), то с нашей точки зрения они будут по существу одинаковы. Уместно дать какое-нибудь название такому соотношению между двумя играми; мы назовем это соотношение стратегической эквивалентностью. Конечно, понятие стратегической эквивалентности есть лишь интуитивное понятие без какого-либо математического содержания, ибо оно основано на таких понятиях, как «стремление к образовании? коалиции», которые сами не были определены математически. Но, очевидно, это понятие чрезвычайно важно для нашей цели, и одна из основных задач теории игр — найти для него точное математическое определение. Можно привести приемлемые интуитивные доводы, которые покажут, что некоторые условия достаточны для стратегической эквивалентности; мы сделаем это в следующих абзацах. Допустим, что нам даны две прямоугольные игры Допустим, далее, что существует положительное число k, такое, что для
Тогда интуитивно очевидно, что игры Г и Г' стратегически эквивалентны, так как мы можем рассматривать к просто как константу, изменяющую денежную единицу (например, из центов или шиллингов в доллары), а поведение разумного человека в игре не зависит от единиц, в которых выражается платеж. Итак, мы нашли достаточное условие для стратегической эквивалентности. Другое достаточное условие мы получим, заменив условие (16) нижеследующим: существует
и для
Чтобы в этом случае убедиться в стратегической эквивалентности Г и Г', заметим, что платежи игроку i в Далее мы видим, что для того, чтобы Г и Эти соображения подсказывают нам ввести следующее понятие S-эквивалентности, которое, как вытекает из наших интуитивных доводов, представляет собой достаточное условие для стратегической эквивалентности. Определение 15.5. Пусть Г и 1) 2) 3) Для
Доказательства следующих двух теорем мы оставляем в качестве упражнений. Теорема 15.6. Соотношение S-эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Теорема 15.7. Если Г и
В силу теоремы 15.7 две характеристические функции v и
Согласно теореме 15.6 соотношение S-эквивалентности разбивает класс всех игр Для некоторых целей желательно иметь возможность выбирать из этих классов особенно простой элемент; для этого мы сформулируем следующее определение. Определение 15.8. Игра
где либо Теорема 15.9. Если v — характеристическая функция в приведенной форме с модулем у и если Т — подмножество множества N, содержащее
Доказательство. Из условия (2) леммы 15.2 мы видим, что
и, следовательно,
Так как неравенство (18) справедливо для любого Т, то мы можем заменить в нем Т на —Т; поскольку —Т содержит
Из (19) мы заключаем, на основании условия (2) теоремы 15.1, что
и, следовательно,
Уравнения (18) и (20) совместно и выражают указанную теорему. Следствие 15.10. Если v есть характеристическая функция в приведенной форме с модулем 0, то для всякого подмножества Т множества N
В самом деле, на основании теоремы 15.9 мы имеем:
откуда
что и требовалось доказать. Теорема. 15.11 Если v и
Доказательство. Пусть модули функций v и
В частности,
Складывая все уравнения системы (22), мы получаем:
и, следовательно, поскольку обе функции в приведенной форме,
Итак,
и, кроме того,
Если оба модуля равны — 1, то k = 1, и, следовательно, из (22) мы имеем:
так что
что завершает доказательство. Теорема 15.12. Всякая характеристическая функция S-эквивалентна одной и только одной характеристической функции в приведенной форме. Доказательство. Пусть В первом случае мы берем
Далее, по теореме 15.7 характеристическая функция у,
Если
и для
Тогда
И
Тот факт, что характеристическая функция не S-эквивалентна двум различным характеристическим функциям в приведенной форме, вытекает из теоремы 15.11 и из того, что соотношение S-эквивалентности транзитивно. Замечание 15.13. Из теорем 15.12 и 15.7 следует, что для того чтобы дать надлежащую теорию всех игр Следствие 15.10 показывает, что игры в приведенной форме с модулем 0 резко отличаются от игр с модулем — 1. Действительно, из 15.10 мы видим, что когда модуль равен 0, любое множество игроков получает 0; итак, в такой игре нет смысла образовывать коалиции, и не может бытьречи о побочных платежах для того, чтобы побудить игрока вступить в коалицию; следовательно, для таких игр не нужно никакой особой теории. Поэтому мы можем впредь ограничиться играми в приведенной форме с модулем — 1. Мы будем называть такие игры существенными, в отличие от игр с модулем 0, которые будут называться несущественными. Игры не в приведенной форме мы называем существенными или несущественными в зависимости от того, являются ли они S-эквивалентными существенным или несущественным играм в приведенной форме. Следующие две теоремы дают условия того, чтобы игры (не обязательно в приведенной форме) были несущественными; доказательства мы оставим в качестве упражнений. Теорема 15.14. Игра несущественна тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция v удовлетворяет условию
Теорема 15.15. Игра несущественна тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция v такая, что если
Итак, в существенной игре имеет место положительная тенденция к образованию коалиции. Из следствия 15.10 мы видим, что для любого n в пределах S-эквивалентности имеется лишь одна несущественная игра n лиц. Интересно отметить, что для
и, следовательно, на основании условия (2) теоремы 15.1
поскольку мы имеем также
то мы заключаем отсюда, что значение функции Напротив, для Если v — характеристическая функция существенной игры
Итак, значение функции v(Т) определено, за исключением случая, когда Т содержит два элемента. Но в силу того, что
значения v будут полностью определены, если мы зададим значения функций Далее, по теореме 15.9 мы видим, что если Т есть любое множество с двумя элементами, то
Итак, если мы положим
то мы будем иметь
и
Далее, легко убедиться, что если Итак, если числа Применяя геометрическую терминологию, мы можем сказать, что в то время как есть лишь одна существенная игра трех лиц в приведенной форме, существенных игр четырех лиц в приведенной форме имеется бесконечность в кубе. Пример 15.16. Игра, называемая «один лишний», проводится следующим образом: каждый из игроков (их всего три) пишет на листке бумаги «герб» или «решка». После того, как каждый игрок выбрал слово, судья сравнивает три написанных слова; если все игроки написали одно слово, нет никаких платежей; в противном случае оказавшийся в одиночестве платит остальным по доллару. Таким образом, если
и аналогично для Предположим теперь, что игроки 2 и 3 составляют коалицию против игрока 1. Игрок 1 имеет, очевидно, лишь две стратегии: он может выбрать 1 или 2. Коалиция {2, 3} имеет четыре стратегии: оба игрока могут выбрать 1; оба игрока могут выбрать 2; игрок 2 выбирает 1, а игрок 3 выбирает 2; игрок 2 выбирает 2, а игрок 3 выбирает 1. Из определения функции Матрица 1
Поскольку второй и третий столбцы матрицы 1 превосходят первый, мы видим, что если коалиция {2, 3} хочет применять оптимальную стратегию, то игроки не будут никогда применять стратегии
и, следовательно,
Из симметрии мы заключаем, что
и
Далее (как и для любой игры трех лиц с нулевой суммой)
Итак, мы полностью определили характеристическую функцию этой игры. Платежная функция в этом случае оказывается такой, что характеристическая функция уже имеет приведенную форму. Библиографические замечанияМатериал этой главы можно найти главным образом у фон Неймана и Моргенштерна [92]. Полный разбор S-эквивалентности есть у Мак-Кинси [74].
|
1 |
Оглавление
|