4. Игры трех лиц

Для нахождения решения существенной игры трех лиц в приведенной форме уместно ввести новую систему координат для евклидовой плоскости.

В качестве осей возьмем три проходящие через одну точку прямые, составляющие между собой углы 60°, а под координатами произвольной точки будем подразумевать расстояния от этой точки до указанных трех прямых, причем расстояния считаются положительными или отрицательными соответственно тому, как показано на рис. 51 (так, например, хг положительно для точек, лежащих выше горизонтальной прямой, и отрицательно для точек, лежащих ниже этой прямой).

Рис. 51.

Поскольку, как известно, точки евклидовой плоскости можно представить с помощью лишь двух координат (как, например, в обычной декартовой системе), мы должны ожидать, что эти три координаты не будут взаимно независимы. И действительно, можно легко показать (с помощью некоторых тригонометрических соотношений), что для всякой точки мы имеем

Далее, если — три числа, сумма которых равна нулю, то в плоскости существует точка, координаты которой суть . Итак, мы имеем координатную систему, которая автоматически удовлетворяет одному из условий, определяющих исход (для игры трех лиц). Другое условие говорит, что точка, соответствующая исходу, должна лежать в заштрихованном треугольнике, как показано на рис. 52.

Таким образом, эта заштрихованная область, которую мы будем называть «фундаментальным треугольником», представляет все исходы для этой игры.

Рис. 52.

Мы обратимся теперь к геометрическому представлению соотношения предпочтения. Мы видели, что один исход не может быть предпочтен другому по отношению к пустому множеству, множеству, состоящему из одного элемента, или множеству всех игроков, поэтому нужно рассмотреть в случае игр трех лиц лишь предпочтение по отношению к двухэлементным множествам.

Далее мы замечаем, что если — какой-либо исход, то

В самом деле, если бы мы имели

то мы могли бы заключить, что

и, следовательно,

Но это противоречит опредедению исхода.

Аналогично мы заключаем, что

и

Итак, двухэлементное множество Т в игре трех лиц всегда удовлетворяет условию (2) определения 16.4, и мы заключаем. что исход должен быть предпочтен исходу тогда и только тогда, когда либо

либо

либо

Отсюда мы заключаем, что исход предпочтительней, чем те исходы, которые лежат в заштрихованных областях рис. 53 (за исключением трех граничных прямых, проходящих через точку ). Мы видим, кроме того, что всякая точка в незаштрихованных областях представляет исход, более предпочтительный, чем исход . Таким образом, если — два исхода, ни один из которых не предпочтительней другого, то соответствующие точки лежат на прямой, параллельной одной из координатных осей.

Рис. 53.

Мы обратимся теперь к задаче определения всех решений этой игры. Поскольку игра существенная, мы видим из построения в замечании 16.5, что всякое решение А должно содержать по меньшей мере два исхода. Кроме того, всякие два элемента множества А должны лежать на прямой, параллельной одной из координатных осей (ибо иначе один из них следовало бы предпочесть другому, что противоречит условию (1) определения 16.6).

Мы будем различать два случая, соответственно тому, лежат ли все точки множества А на одной прямой или нет.

Во втором случае мы приходим к решению

которое рассматривалось раньше. В первом случае мы заключаем, что А должно содержать все трчки внутри фундаментального треугольника, лежащие на данной прямой, и, кроме того, что должно выполняться одно из следующих трех условий:

1) А состоит из всех исходов где с фиксировано и удовлетворяет неравенствам

2) А состоит из всех исходов где с фиксировано и удовлетворяет неравенствам —1

3) А состоит из всех исходрв где с фиксировано и удовлетворяет неравенствам

Замечание 16.15. Таким образом, для существенной игры трех лиц мы имеем затруднительное изобилие решений. Помимо конечного решения (состоящего из трех исходов), с которого мы начали наше исследование, мы нашли бесконечный набор бесконечных решений. Кроме того, всякая точка фундаментального треугольника лежит по меньшей мере в одном из описанных множеств, так что всякий исход принадлежит хотя бы одному решению; итак, ни один из возможных исходов не исключается.

Фон Нейман объясняет эту ситуацию тем, что, как было упомянуто раньше, различные решения представляют разные стандарты общественного поведения. В рассматриваемой игре трех лиц он называет единственное конечное решение «дискриминированным», а другие решения «дискриминированными». Так, например, решение, соответствующее указанному выше условию (3), представляет общественное соглашение, по которому игроки 1 и 2 решают исключить игрока 3 из своих переговоров, но дают ему фиксированную сумму с (чем меньше с, тем, конечно, хуже для игрока 3). Как игроки разделят между собой сумму — с, теория не решает; предполагается, что это будет определяться такими посторонними факторами, как сила убеждения и упорство игроков.

Если представить все это в возможно более благоприятном свете, то, по-видимому, эти выводы указывают, что когда три человека играют в существенную игру трех лиц в приведенной форме, то либо (1) двое из них должны решить исключить третьего из всех переговоров и произвольно назначить ему фиксированную сумму с, решив между собой (каким-нибудь способом, который не уточняется), как разделить сумму — с; либо (2) никто не исключается из переговоров, но два из них решают дать третьему —1 и разделить между собой поровну +1.

Трудно поверить, что эти знания дадут возможность играть увереннее и с большей выгодой, особенно если другие два игрока не знают этого правильного способа игры. Поэтому теория игр лиц, по-видимому, еще не является вполне удовлетворительной.

Библиографические замечания

Чрезвычайно подробный и тщательный разбор решения игр лиц дан в работе фон Неймана и Моргенштерна [92].

Другой подход к играм лиц изложен в работе Нэша [85]. В работах Ботта [14] и Шепли [98], [99] есть другие выводы, слишком новые, чтобы их обсуждать в этой книге.