Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3. Игры с идеальной памятью и стратегии поведенияИнтересным и полезным обобщением игр с полной информацией является понятие игр с идеальной памятью. Игрой с идеальной памятью мы называем игру, в которой каждый из игроков всегда помнит все, что он делал или знал во время каждого из своих ходов. Таким образом, всякая игра двух лиц, в которой могут играть лишь два человека (а не команды) является игрой с идеальной памятью; например, rummy есть игра с идеальной памятью, а бридж нет, потому что в бридже каждый игрок — это команда из двух человек, и ни один из них не знает, какие карты были сданы другому. Это понятие игры с идеальной памятью можно определить точно через информационные множества игры. Игра с идеальной памятью — это игра, удовлетворяющая следующему условию: пусть Р и Q — любые два хода, которые делает один игрок, и такие, что в некоторой партии игры ход Р предшествует ходу Q; U и V — информационные множества, содержащие соответственно Р и Q; каждая точка множества U дает к альтернатив; Обратимся теперь к понятию Рассмотрим, например, игру, диаграмма которой изображена на рис. 30; здесь цифрами у вершин дерева мы обозначили платеж первому игроку при различных возможных исходах. Стратегия поведения для первого игрока есть функция, определенная на
Рис. 30. С другой стороны, стратегия поведения для Теперь предположим, что
а
Тогда математическое ожидание выигрыша игрока
Интуитивно очевидно и нетрудно доказать формально, что, применяя смешанные стратегии, игрок поступает по крайней мере не хуже, чем в случае применения стратегий поведения; но легко построить игры, в которых игроку лучше применять смешанные стратегии, чем любую стратегию поведения. С другой стороны, можно показать, что игра с идеальной памятью всегда имеет оптимальные стратегии поведения; если Е есть математическое ожидание выигрыша для игры с идеальной памятью, то имеется стратегия поведения
(В исторических и библиографических замечаниях в конце этой главы указано, где можно найти доказательство этой теоремы.) Пример 6.4. Рассмотрим игру, диаграмма которой приведена на рис. 30. Поскольку это игра с идеальной памятью, очевидно, имеются оптимальные стратегии поведения для обоих игроков. Как и раньше, мы имеем:
Коэффициент при
Коэффициент при
и никогда не может быть отрицательным, поэтому игроку
Поскольку, наконец,
мы заключаем, что для
и подобно этому для игрока
Итак, оптимальная система игры для Замечание 6.5. Следует заметить, что вообще число параметров, которые нужно определить при вычислении оптимальных стратегий поведения, гораздо меньше, чем число параметров, связанных с вычислением оптимальных смешанных стратегий. Так, в примере 6.4 при вычислении оптимальной стратегии поведения для Однако это преимущество стратегии поведения, по крайней мере частично, компенсируется тем, что математическое ожидание обычно удобнее выражать через смешанные стратегии. Библиографические замечанияДанное выше формальное определение игр в развернутой форме весьма сходно с определением, которое приведено в работе Куна [63]. Там же приведено доказательство теоремы 6.1. Понятие точки равновесия было введено в работе Нэша [85]. Он же дал доказательство того, что во всякой игре n лиц среди смешанных стратегий имеется точка равновесия. Доказательство того, что игра с идеальной памятью имеет оптимальные стратегии поведения, можно найти у Куна [63].
|
1 |
Оглавление
|