Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4. Свойства оптимальных стратегийИногда можно определить цену игры из интуитивных соображений или из непосредственного рассмотрения игры. В таких случаях для отыскания оптимальных стратегий для обойх игроков часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой. Теорема 2.8. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша в прямоугольной игре с матрицей порядка
Аналогично, для того чтобы элемент Y множества
Доказательство. Если X — оптимальная стратегия для
что и требовалось доказать. С другой стороны, предположим, что X — элемент множества
На основании теоремы 2.7 существует точка
а поскольку по условию v есть цена игры, мы имеем
Из (26) и (28) мы заключаем, что
Заменяя У на У в неравенстве (29), и заменяя X на X* в первой части неравенства (27), получаем
Итак,
Из (27), (29) и (30) мы заключаем, что
так что Следующая теорема позволяет нам сравнительно быстро проверить предположенное решение игры и, кроме того, как мы вскоре увидим, свести задачу отыскания решений к задаче элементарной алгебры. Чтобы упростить формулировку задачи, мы будем писать
вместо
где
вместо
где
и
Заметим также, что
Теорема 2.9. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша прямоугольной игры с матрицей порядка
Доказательство. Необходимость условия следует непосредственно из определения седловой точки — при замене X на i и Y на j. С другой стороны, если условие выполняется, то для любого
Аналогично, для любого
Из неравенств (31) и (32), заменяя X на
и
и, следовательно,
Тогда из неравенств (31), (32) и (33) мы получаем
так что Следующая теорема является следствием теоремы 2.8; доказательство ее мы оставляем читателю в качестве упражнения. Теорема 2.10. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша прямоугольной игры с матрицей порядка
Аналогично, для того чтобы элемент Y множества
Теорема 2.14. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша прямоугольной игры с матрицей порядка
Доказательство. На основании теоремы 2.10 для
где v — цена игры, следовательно,
Но если
то
и, следовательно,
или
Но это противоречит условию, что v есть цена игры. Отсюда мы заключаем, что
Аналогично доказывается, что
Следующая более частная теорема оказывается нередко очень полезной при отыскании решения данной игры. Теорема 2.12. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша для прямоугольной игры с матрицей порядка
имеет место равенство
а для любого j такого, что
имеет место равенство
Доказательство. Допустим, что для некоторого h
и
Тогда мы заключаем, что
Поскольку, для
и, следовательно,
мы заключаем, что
и, следовательно,
что противоречит условию, что v есть цена игры. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Доказательство следующей теоремы мы оставляем читателю в качестве упражнения. Теорема 2.13. Пусть Е — математическое ожидание выигрыша прямоугольной игры с матрицей порядка 1) 2) Если X есть любой элемент множества
3) Если i и j суть любые целые числа, такие, что
Покажем теперь на нескольких примерах, как можно применить эти теоремы для вычисления цен и решений данных игр. В изложенном виде эти способы чрезвычайно трудоемки и требуют много времени; позднее мы укажем методы, сокращающие, процесс вычисления. Пример 2.14. Требуется найти цену и оптимальные стратегии обоих игроков для прямоугольной игры, имеющей следующую матрицу:
На основании теоремы 2.9 достаточно найти числа
Обычные способы элементарной алгебры не дают нам возможности решать системы, содержащие неравенства наряду с равенствами. Однако мы знаем из теоремы 2.6, что система имеет решение, и мы можем рассмотреть отдельно
и, очевидно, также
Применяя любой из известных методов элементарной алгебры, мы находим, что эта система уравнений имеет следующее решение:
Поскольку Следующий пример показывает, как можно обойти затруднения, возникающие в том случае, когда уравнения, соответствующие шести уравнениям предыдущего примера, оказываются несовместными или не имеют решений, лежащих в интервале [0, 1]. Пример 2.15. Требуется найти цену и оптимальные стратегии обоих игроков для прямоугольной игры, имеющей матрицу
На основании теоремы 2.9 достаточно найти числа
Рассмотрим сначала случай, когда все шесть неравенств вменены равенствами:
Легко убедиться, что эти уравнения не имеют такого [решения, чтобы все числа
Поскольку Продолжая поступать таким образом, мы рассмотрим, наконец следующий случай:
Из строгого неравенства Итак, нам нужно решить следующую систему уравнений;
Эта система имеет решение
Мы подставляем значения
в первоначальную систему неравенств и находим, что она удовлетворяется. Таким образом, цена игры равна 2, вектор
|
1 |
Оглавление
|