Упражнения

1. Сформулируйте и докажите обобщение теоремы 6,1 для игры n лиц.

Рис. 31.

2. Найдите точки равновесия (всего восемь точек) для игры с полной информацией, диаграмма которой изображена на рис. 31, а платежные функции приведены в таблице 1.

Таблица 1

3. Покажите, что в игре двух лиц с нулевой суммой седловая точка является также точкой равновесия.

4. Определите точку равновесия для множества -мерных векторов смешанных стратегий нормализованной игры лиц.

5 Используя понятие точки равновесия для смешанных стратегий, определенное в упражнении 4, найдите точку равновесия для прямоугольной игры двух лиц, у которой платежные матрицы первого и второго игрока такие:

6. Покажите, что всякая пара смешанных стратегий есть точка равновесия для игры, имеющей платежные матрицы

7. Найдите платежную функцию для игры с нулевой суммой, диаграмма которой изображена на рис. 32 и у которой нет седловой точки (в чистых стратегиях).

Рис. 32.

8. Найдите оптимальные стратегии поведения для игры с такой же диаграммой, как на рис. 30, но в которой платежи, считая слева направо, такие:

вместо

9. Постройте пример игры, не имеющей оптимальной стратегии поведения для

10. Имеюдагтри одинаковые колоды из n карт; каждый набор карт обозначен положительными числами .

Каждый из двух игроков держит одну колоду, а третья положена вниз лицом. Игра имеет три этапа, состоящие в следующем:

1. Верхняя карта третьей колоды переворачивается вверх лицом.

2. Игроки выбирают одновременно по одной карте из своих колод.

3. Игрок, положивший старшую карту, выигрывает у своего противника стоимость перевернутой карты из колоды (если они кладут карты с одинаковым номером, то никто не платит). Игра, очевидно, имеет цену нуль, так как она симметрична.

Постройте диаграмму этой игры для и покажите, что в этом случае существуют оптимальные чистые стратегии. Покажите, кроме того, что имеются чистые стратегии для если Найдите оптимальные стратегии для если .